Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Сколько сторон у шестиугольника

Сколько сторон у шестиугольника

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Подсчет диагоналей

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

  • у треугольника — 0 диагоналей
  • у прямоугольника — 2 диагонали
  • у пятиугольника — 5 диагоналей
  • у шестиугольника — 9 диагоналей
  • у восьмиугольника — 20 диагоналей
  • у 12-угольника — 54 диагонали
  • у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k. Тогда можно пользоваться формулой:

N = n·(n – k – 1)/2,

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что

  • у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей
  • у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные)
  • у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
  • у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные)
  • у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Этоквадрат и правильный пятиугольник. У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны

Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.

В геометрии многоугольник – это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:

  • Состоит из трех или более прямых
  • Закрыто без отверстий или разрывов в форме
  • Имеет пары линий, которые соединяются в углах или вершинах, где они образуют углы
  • Имеет равное количество сторон и внутренних углов

Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.

Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае он называется неправильным многоугольником.

О полигонах

Название многоугольник происходит от двух греческих слов:

  • Poly, , что означает много .
  • Гон, что означает угол

Формы, которые являются полигонами

  • Треугольник (треугольник): 3 стороны
  • Тетрагон (квадрат): 4 стороны
  • Пентагоны: 5 сторон
  • Шестиугольник: 6 сторон
  • Семиугольник: 7 сторон
  • Восьмиугольники: 8 сторон
  • Нонагон: 9 сторон
  • Декагон: 10 граней
  • Undecagon: 11 сторон
  • Додекагоны: 12 сторон

Как называются полигоны

Названия отдельных многоугольников получаются из числа сторон или углов, которыми обладает форма. Полигоны имеют одинаковое количество сторон и углов.

Общим названием для большинства полигонов является греческий префикс «сторон», прикрепленный к греческому слову «угол» (gon).

Примеры этого для пяти- и шестигранных правильных многоугольников:

  • Пента (по-гречески означает пять) + гон = Пентагон
  • Гекса (по-гречески означает шесть) + гон = шестиугольник
Читайте так же:
Сетки арматурные сварные тяжелые

Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще всего используются для некоторых полигонов:

  • Треугольник . Использует греческий префикс Tri , но вместо греческого гона используется латинский угол . Trigon – правильное геометрическое имя, но оно используется редко.
  • Четырехсторонний. Производный от латинского префикса quadri, , означающего четыре, прилагается к слову боковой, , которое является еще одним латинским словом, означающим сторона.
  • Квадрат . Иногда четырехсторонний многоугольник (квадрат) называется четырехугольником или четырехугольником .

N-угольники

Полигоны с более чем 10 сторонами встречаются нечасто, но следуют тому же греческому соглашению об именовании Таким образом, 100-сторонний многоугольник называется гектогоном .

Однако в математике пятиугольники иногда удобнее называть n-гонами :

  • 11-гонник: гендекагон
  • 12-Гон: Додекагон
  • 20-угольник: Icosagon
  • 50-гонник: пятиконечный
  • 1000-гон: чилиагон
  • 1000000-гон: мегагон

В математике н-гоны и их греческие аналоги взаимозаменяемы.

Предел полигона

Теоретически, нет ограничения на количество сторон, которые может иметь многоугольник.

По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к кругу, но никогда не достигает его.

Классификация полигонов

Регулярные и неправильные полигоны

Полигоны классифицируются на основании того, равны ли все углы или стороны.

  • Обычныймногоугольник . Все углы имеют одинаковый размер, а все стороны равны по длине.
  • Нерегулярныймногоугольник . Углы или стороны одинакового размера не имеют одинаковой длины.

Выпуклые против вогнутых полигонов

Второй способ классификации полигонов – по размеру их внутренних углов.

  • Выпуклые многоугольники: Внутренние углы не превышают 180 °.
  • Вогнутые многоугольники . Как минимум, один внутренний угол превышает 180 °.

Простые и сложные полигоны

Еще один способ классификации полигонов – это то, как линии, образующие многоугольник, пересекаются.

  • Простые полигоны : линии соединяются или пересекаются только один раз – в вершинах.
  • Сложные полигоны : линии пересекаются более одного раза.

Названия сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с одинаковым числом сторон.

  • шестиугольник правильной формы – это шестигранный простой многоугольник.
  • Звездообразная гексаграмма – это шестигранный сложный многоугольник, созданный наложением двух равносторонних треугольников.

Правило суммы внутренних углов

Как правило, каждый раз, когда сторона добавляется в многоугольник, например:

  • От треугольника до четырехугольника (три-четыре стороны)
  • От пятиугольника до шестиугольника (пять-шесть сторон)

еще 180 ° добавляется к сумме внутренних углов.

Это правило можно записать в виде формулы:

(n – 2) × 180 °

где n равно числу сторон многоугольника.

Таким образом, сумма внутренних углов для шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:

(6 – 2) × 180 ° = 720 °

Сколько треугольников в этом многоугольнике?

Приведенная выше формула внутреннего угла получается путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:

n – 2

В этой формуле n равно числу сторон многоугольника.

Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6 – 2) и додекагон на 10 треугольников (12 – 2).

Размер угла для правильных многоугольников

Для правильных многоугольников, у которых все углы одинакового размера, а стороны одинаковой длины, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать путем деления общего размера углов (в градусах) на общее количество сторон.

Для правильного шестигранного шестигранника каждый угол равен:

720 ° ÷ 6 = 120 °

Некоторые известные полигоны

Фермы

Фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может включать равносторонние или равнобедренные треугольники. Из-за их большой прочности, треугольники используются в строительстве мостов и велосипедных рам, и видны в Эйфелевой башне.

Пентагон

Пентагон – штаб-квартира Министерства обороны США – берет свое название от его формы. Здание представляет собой пятисторонний, правильный пятиугольник.

Главная пластина

Другой известный пятисторонний правильный пятиугольник – домашняя тарелка на бейсбольном алмазе.

Поддельный Пентагон

Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и его иногда называют поддельным пятиугольником.

Снежинки

Каждая снежинка начинается с шестиугольника, но температура и уровень влажности добавляют ветви и усики, так что каждая из них выглядит по-разному.

Читайте так же:
Оборудование для резки пенопласта

Пчелы и осы

Естественные шестиугольники также включают ульи, где каждая клетка в соте, которую пчелы строят для содержания меда, является шестиугольной. Гнезда бумажных ос также содержат гексагональные клетки, в которых они растут.

Тротуар гиганта

Шестиугольники также найдены на мощёной дорожке Гиганта, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественная горная порода, состоящая из около 40000 взаимосвязанных базальтовых колонн, которые были созданы в виде лавы из-за медленно остывающего древнего вулканического извержения.

Восьмиугольник

Восьмиугольник – имя, данное кольцу или клетке, используемому в боях Ultimate Fighting Championship (UFC) – берет свое название от своей формы. Это восьмигранный правильный восьмиугольник.

Стоп Знаки

Стоп знак – один из самых знакомых дорожных знаков – еще один восьмигранный правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут различаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.

Сколько сторон у шестиугольника

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Сколько сторон у шестиугольника

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Сколько сторон у шестиугольника

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Сколько сторон у шестиугольника

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Сколько сторон у шестиугольника

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Читайте так же:
Подключение электрогенератора к частному дому схема

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Сколько сторон у шестиугольника

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA , OB — радиусы правильного шестиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6число сторон и вершин правильного шестиугольника,шт
αцентральный угол правильного шестиугольника,радианы, °
βполовина внутреннего угла правильного шестиугольника,радианы, °
γвнутренний угол правильного шестиугольника,радианы, °
aсторона правильного шестиугольника,м
Rрадиусы правильного шестиугольника,м
pполупериметр правильного шестиугольника,м
Lпериметр правильного шестиугольника,м
hапофемы правильного шестиугольника,м

Основные формулы для правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

Полупериметр правильного шестиугольника

Центральный угол правильного шестиугольника в радианах

Центральный угол правильного шестиугольника в градусах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах

Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах

Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах

Площадь правильного шестиугольника

Отсюда получим апофему правильного шестиугольника

1. Все углы правильного шестиугольника равны 120°

2. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой

3. Периметр правильного шестиугольника

4. Формула площади правильного шестиугольника

5. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

6. Диаметр описанной окружности правильного шестиугольника

7. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника

8. Соотношения между радиусами вписанной и описанной окружностей

9. Угол , угол , угол , откуда следует, что треугольник – прямоугольный с гипотенузой равной . Следовательно,

Читайте так же:
Микросхема lm339n и ее применение схема

Змейка в шестиугольнике

Змейкой будем называть ломаную со следующими свойствами:
1) первое звено имеет длину 1;
2) каждое следующее звено на 1 длиннее предыдущего;
3) угол между соседними звеньями равен 60°;
4) звенья одинаковой четности параллельны друг другу.

Несложно убедиться, что в правильном шестиугольнике со стороной 1 змейкой можно соединить середины двух противоположных сторон. А каков следующий по размеру правильный шестиугольник (с целочисленной длиной стороны), в котором тоже можно змейкой соединить середины пары противоположных сторон? Сколько звеньев у змейки, соединяющей середины противоположных сторон шестого по счету правильного шестиугольника с таким же свойством?

Подсказка

Подумайте, как связан с характеристиками змейки отрезок, соединяющий середины ее четных звеньев. А как он связан с размером шестиугольника?

Решение

На рис. 1 для примера показана змейка с семью звеньями.

Рис. 1.

На рис. 2 показаны шестиугольники со сторонами 1 и 2, в которых середины противоположных сторон соединены змейками (с двумя и тремя звеньями, соответственно). Но если взять шестиугольник со стороной 3, то, немного поэкспериментировав, можно убедиться, что в него змейку таким же образом уже не вместить. Да и со следующими несколькими целочисленными шестиугольниками ничего не выйдет. Что же делать?

Рис. 2.

Рассмотрим достаточно длинную змейку, вершины которой обозначены так, как на рис. 3. Проведем прямую через точку (A_0) и середины четных отрезков (красная на рис. 3). Рассмотрим произвольное нечетное (k>1) и обозначим через (B) точку пересечения этой прямой со звеном (A_A_k) (на рис. 3 (k=7)). Тогда для треугольника (A_0BA_k) верно следующее: (angle A_0BA_k =frac<2pi><3>), (BA_k=frac<2>), (A_0B=2cdotleft(1+2+ldots+frac<2>right)=frac<4>).

Рис. 3.

По теореме косинусов находим третью сторону этого треугольника: (A_0A_k=frac<4>sqrt). Если оказалось, что вершины (A_0) и (A_k) — середины противоположных сторон правильного шестиугольника, то мы получаем, что радиус его вписанной окружности (составляющий половину (A_0A_k)) равен (r_k=frac<8>sqrt). По известным формулам, связывающим длины разных важных отрезков в правильном шестиугольнике, находим, что тогда радиус его описанной окружности равен (R_k=2r_k/sqrt3=frac<4>sqrt<3>+1>). Значит, и сторона шестиугольника равна этому выражению.

Для четных (k) ситуация аналогична. Если обозначить за (C) точку пересечения красной прямой со звеном (A_A_k) (на рис. 3 (k=6) в этом случае), то в треугольнике (A_0CA_k) угол (A_0CA_k) тоже будет равен (frac<2pi>3). Прилегающие к нему стороны легко найти: (CA_k=frac<2>), (A_0C=2cdotleft(1+2+ldots+frac<2>right)-frac2=frac<4>). Теорема косинусов дает (A_0A_k=frac<4>sqrt<(k+1)^2+3>). И, повторяя рассуждение с радиусами вписанной и описанной окружностей шестиугольника, находим, что его сторона должна быть равна (R_k=frac<4>sqrt<3>+1>).

Для того, чтобы сторона шестиугольника была целочисленной, необходимо, чтобы выражение под знаком корня было квадратом рационального числа.

Рассмотрим случай нечетного (k): (frac<3>+1=left(frac pqright)^2). Перепишем это равенство так: (k^2+3=3p^2/q^2). Числа (p) и (q) можно считать взаимно простыми (это значит, что дробь несократима). Если (q>1), то, поскольку слева стоит целое число, получим, что (q) делится на 3: (q=3q_1). Значит, (k^2+3=p^2/3q_1^2), но из этого равенства следует, что и (p) делится на 3. Но это противоречит взаимной простоте (p) и (q). Следовательно, (q=1), то есть подкоренное выражение на самом деле является целым числом. Аналогичные рассуждения работают и для случая четного (k).

Итак, для нечетного (k) мы получили, что выполняется равенство (frac<3>+1=m^2), где (minmathbb), а для четного (k) — равенство (frac<(k+1)^2><3>+1=m^2).

Заметим, что в обоих случаях (m) — четное. Из этого следует, что если верно равенство из предыдущего абзаца (свое для четного и нечетного (k)), то сторона шестиугольника (R_k), равная либо (frac4m) (при нечетном (k)), либо (frac<4>m) (при четном), автоматически будет целой! Значит, осталось найти целые решения этих двух уравнений.

Рассмотрим первое из них:

Сразу ясно, что (k) делится на 3, то есть (k=3k_1). Тогда уравнение можно переписать так:

Легко видеть, что при четном (k) все сведется к этому же уравнению, только замена будет другой: (k=3k_1-1).

Читайте так же:
Соленоидный вентиль принцип работы

Это уравнение относится к так называемым уравнениям Пелля. Они уже встречались в наших задачах (см. задачу Отношения фигурных чисел) и хороши тем, что про них все известно (см., например, брошюру В. Бугаенко, посвященную этим замечательным уравнениям, а также серию статей В. Сендерова и А. Спивака в «Кванте» №№ 3, 4 и 6 за 2002 год). Для конкретно этого уравнения верно следующее утверждение: если пара чисел ((m;,k_1)) является решением, то решением будет и пара ((2m+3k_1;,m+2k_1)) (убедитесь в этом!). Одну пару легко угадать — это (1; 0). Она порождает следующие решения: (2; 1), (7; 4), (26; 15), (97; 56), (362; 209), .

Нас интересуют только пары с четным (m), то есть (2; 1), (26; 15) и (362;209). Каждая из них дает по два значения (k) (по формулам замен, которыми мы пользовались выше) и, тем самым, по два шестиугольника: из пары ((m;,k_1)=(2;,1)) получаем (k=2) и (k=3) (эти случаи изображены на рис. 2), из пары (26; 15) — (k=44) и (k=45), из пары (362; 209) — (k=626) и (k=627).

Итак, для шестого по счету правильного шестиугольника, середины противоположных сторон которого можно соединить змейкой, в этой змейке будет 627 звеньев.

Послесловие

Возникает естественный вопрос: а сколько звеньев у змейки для седьмого или восьмого шестиугольников? И вообще, что в общем случае — для (n)-го по счету шестиугольника? Ответ на эти вопросы, в принципе, был получен в решении: установив связь между числом звеньев наших змеек и уравнением Пелля (x^2-3y^2=1), мы все свели к анализу решений этого уравнения. Как уже говорилось, теория уравнений Пелля хорошо разработана, и, более того, для уравнений с небольшими коэффициентами при (y) уже все посчитано: например, все значения (y), удовлетворяющие этому уравнению, составляют последовательность A001353 в Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS). Надо лишь брать нечетные элементы этой последовательности и получать из них пары подходящих значений (k).

Можно заметить, что числа в этой последовательности растут очень быстро. Например, для двадцатого по счету шестиугольника (y=21,252,634,831). То есть у соответствующей змейки (k=3y=63,757,904,493) звена. Почему так? Дело в том, что элементы этой последовательности растут экспоненциально. Чтобы это выявить, нужно заметить, что их можно задать линейным рекуррентным соотношением, а именно: (y_n=4y_-y_), (y_0=0), (y_1=1). Вывод этого соотношения оставим в качестве упражнения (обратите внимание на приведенные в решении формулы для генерации решений уравнения Пелля). А, как известно, общий член линейной рекуррентной последовательности можно выразить через корни ее характеристического многочлена (подробности описаны, например, здесь). В данном случае получаем (y_n=frac<6>((2+sqrt3)^n-(2-sqrt3)^n)). Естественно, так же быстро растет и число звеньев змейки.

При решении нашей задачи можно было рассуждать и несколько иначе (но с тем же результатом). По определению змейки ее звенья могут иметь лишь два направления. Это значит, что если змейка «вписана» в шестиугольник требуемым образом, то можно параллельно их перенести так, чтобы получилась ломаная всего из двух звеньев с теми же концами. Одно из звеньев новой ломаной составлено из нечетных звеньев змейки, второе — из четных. Угол между звеньями новой ломаной также равен 60°. Достроим ее до треугольника, соединив концы отрезком, — этот отрезок соединяет середины противоположных сторон шестиугольника. Если сторона шестиугольника равна (a), то длина этого отрезка равна (asqrt3).

В результате получим треугольник с углом 60°, прилегающие к которому стороны известны: одна равна (u=1+3+5+ldots), вторая — (v=2+4+6+ldots). Пусть, для определенности, число звеньев змейки четно и равно (2l). Тогда (u=1+3+ldots+(2l-1)=l^2), а (v=2+4+ldots+2l=l(l+1)). Снова применим теорему косинусов, чтобы выразить третью сторону: (3a^2=u^2+v^2-uv=l^2(l^2+l+1)). Дальнейший анализ этого уравнения приводит к тому же самому уравнению Пелля, что получилось в нашем решении. Для змейки с нечетным числом звеньев все аналогично.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector