Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

План-конспект урока по теме «построение правильных многоугольников» 1 фио быкова елена александровна 2 место работы моу сош №2 локомотивный городской округ 3 должность учитель математики

План-конспект урока по теме «построение правильных многоугольников» 1 фио быкова елена александровна 2 место работы моу сош №2 локомотивный городской округ 3 должность учитель математики

7. Базовый учебник Геометрия:Учебник для 7-9 кл.средней школы / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

рассмотреть некоторые способы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки;

познакомить учащихся с понятием «золотого сечения»;

показать примеры «золотого сечения» в математике, скульптуре, архитектуре и живописи.

Проверка домашнего задания .

Три ученика вызываются к доске и получают следующие задания:

а) вывести формулу для вычисления площади правильного многоугольника;

б) вывести формулу для вычисления стороны правильного многоугольника;

в) вывести формулу для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник.

С целью проверки знания изученных формул и умения их применять при решении простейших задач, проводится математический диктант в то время, пока у доски готовится вывод формул.

Задание: в правильном многоугольнике число сторон равно n, а радиус описанной около него окружности равен R.Вычислите сторону, площадь и радиус вписанной в него окружности, если известно, что n=3 (1 вариант), n=4 ( 2 вариант), n=6 ( 3 вариант).

В ходе проверки правильности выполнения заданий заполнить таблицу, заранее заготовленную на доске. После того, как таблица будет готова, учащиеся переносят её в свою тетрадь.

Далее заслушивается вывод формул, подготовленных у доски.

Изучение нового материала.

Повторить : 1) построение биссектрисы угла,

2 ) построение перпендикуляра,

3 ) принцип построения правильных треугольника и четырёхугольника.

1.Построение биссектрисы угла и перпендикуляра .

Построение биссектрисы угла . Проведение прямой, перпендикулярной

2.Построение правильного треугольника.

Построить: треугольник АВС, в котором АВ=ВС=АС=PQ.

Проведём прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный PQ.

Построим две окружности: с центром А и радиусом PQ,с центром В и радиусом PQ. С- одна из точек пересечения окружностей.

Проведём отрезки АС и ВС .Треугольник АВС – искомый, т.к. АВ=ВС=АС=PQ.

3. Построение правильного четырёхугольника.

Дано: PQ- отрезок.

Построить: квадрат АВСД, в котором АВ=PQ.

Проведём прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный PQ.

Через точки А и В проведём перпендикуляры АМ и ВN к прямой АВ.

На лучах АМ и ВN отложим отрезки АД и ВС, равные PQ.Проведём отрезок СД.

Для построения правильных n-угольников при n>4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 1.Построить правильный шестиугольник, сторона которого

равна данному отрезку.

Т.к. сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то для построения правильного шестиугольника со стороной равной данному отрезку PQ нужно:

Построить окружность с радиусом, равным PQ.

Отметить на окружности произвольную точку А1.

Отметить на окружности точки А2, А3, А4, А5, А6, чтобы выполнялось равенство А1А2=А2А3=А3А4=А4А5=А5А6.

Последовательно соединить отрезками полученные точки.А1А2А3А4А5А6 – искомый шестиугольник.

По ходу составления плана построения правильного шестиугольника на доске выполняется рисунок.

Читайте так же:
Ушм 150 с регулировкой оборотов

Задача 2. Дан правильный n -угольник. Построить правильный 2 n -угольник.

Вопрос к учащимся: как, используя правильный шестиугольник, построить правильный двенадцатиугольник?

провести высоты треугольников А1ОА2, А2ОА3, … ,А6ОА1 до пересечения с окружностью. Соединить последовательно точки пересечения и вершины данного n-угольника.

Разделить дуги А1А2, А2А3, …, А6А1 пополам и соединить последовательно полученные точки и вершины данного n-угольника.

Прочитать из учебника построения правильного 2n-угольника и составить план.

Провести биссектрисы углов правильного n-угольника. Точка пересечения биссектрис О будет являться центром описанной окружности. Построить эту окружность.

Из точки О опустить перпендикуляры к сторонам правильного n-угольника до пересечения с окружностью.

Соединить последовательно вершины правильного n-угольника с полученными точками пересечения. Полученный многоугольник искомый правильный 2n-угольник.

Задача 3. По с троить правильный пятиугольник и десятиугольник .

Построение правильного пятиугольника и десятиугольника сводится к так называемому «золотому сечению» отрезка.

Говорят, что точка С производит «золотое сечение» отрезка АВ, если

«Золотое сечение» — это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей.В геометрии «золотым сечением» называется деление отрезка в среднем и крайнем отношениях.

Если длину отрезка АВ обозначить через а , а длину отрезка АС через х, то

а-х — длина отрезка СВ, то получим пропорцию х/а=(а-х)/х.

Из этой пропорции следует, что при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части: х=√х(а-х).

Чтобы построить правильный десятиугольник, достаточно по известному радиусу описанной окружности R построить сторону х д есятиугольника.

Рассмотрим один из десяти треугольников со сторонами ОА=ОВ=R, АВ=х и углами АОВ, равным 36°,угол А и угол В равны 72°.Проведём биссектрису ВС. В треугольнике АВС угол А равен 72°, угол В равен 36°, следовательно угол С равен 72°. Значит, АВ=ВС. Треугольники АОВ и АВС подобны по двум углам. Из подобия треугольников и равенства отрезков АВ, ВС и ОС получаем пропорцию АВ/АС=ОА/АВ, или ОС/АС=ОА/ОС, отсюда

х/(R-х)=R/х, которая с античных времён называется «золотой».Она показывает, что точка С делит отрезок ОА так, что большая часть относится к меньшей так же как весь отрезок к большей части. Пропорция записывается как уравнение х²+Rх-R²=0.Откуда х=R( -1)/2.По отрезку R легко построить и отрезок R , а затем и х. Отрезок ОЕ даёт сторону правильного десятиугольника, ВЕ – пятиугольника, вписанных в окружность с центром О.

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности

Правильный описанный треугольник строят следующим образом (рисунок 38). Из центра заданной окружности радиуса R1 проводят окружность радиусом R2 = 2R1 и делят ее на три равные части. Точки деления А, В, С являются вершинами правильного треугольника, описанного около окружности радиуса R1.

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности - №1 - открытая онлайн библиотека

Правильный описанный четырехугольник (квадрат) можно построить с помощью циркуля и линейки (рисунок 39). В заданной окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью за центры, радиусом окружности R описывают дуги до взаимного их пересечения в точках А, В, С,D. Точки A, B, C, D и являются вершинами квадрата, описанного около данной окружности.

Читайте так же:
Станок фрезерный марки вм 127м

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности - №2 - открытая онлайн библиотека

Для построения правильного описанного шестиугольника необходимо вначале построить вершины описанного квадрата указанным выше способом (рисунок 40, а). Одновременно с определением вершин квадрата заданную окружность радиуса R делят на шесть равных частей в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6 и проводят вертикальные стороны квадрата. Проведя через точки деления окружности 2–5 и 3–6 прямые до пересечения их с вертикальными сторонами квадрата (рисунок 40, б), получают вершины А, В, D, Е описанного правильного шестиугольника.

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности - №3 - открытая онлайн библиотека

Остальные вершины C и F определяют с помощью дуги окружности радиуса OA, которая проводится до пересечения ее с продолжением вертикального диаметра заданной окружности.
3 СОПРЯЖЕНИЯ

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п.

Плавный переход одной линии в другую называют касанием линий, а точку, в которой происходит касание, — точкой касания или перехода (рисунок 41). Например, две дуги радиусами R1 и R2, касающимися между собой (рисунок 41 а), имеют общую точку касания A, лежащую на линии, соединяющей центры этих дуг – точки O1 и O2. На рисунке 41, б изображена прямая, касающаяся дуги радиуса R и имеющая с ней общую точку касания B, расположенную на перпендикуляре, опущенном из центра дуги – точки О на прямую. Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности - №4 - открытая онлайн библиотека

Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рисунке 42 такой промежуточной линией является дуга AB радиусом Rc, с помощью которой осуществлен плавный переход (сопряжение) от прямой к дуге окружности радиусом R.

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности - №5 - открытая онлайн библиотека

Чаще всего промежуточной линией является дуга окружности, называемая дугой сопряжения, или сопрягающей дугой. Радиус сопрягающей дуги носит название радиуса сопряжения, а центр дуги – центра сопряжения. Дуга сопряжения касается одновременно двух сопрягаемых линий. При сопряжении всегда имеются две точки перехода (на рисунке 42 точки А и B), и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.

Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.

Техническое черчение

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Читайте так же:
Отличие проходного от перекрестного выключателя

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Читайте так же:
Почему нельзя перевозить холодильник лежа

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Алгоритмы построения правильных многоугольников
презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему

В данной теме раскрыты некоторые приемы построения правильных многоугольников. Рассмотрены основные задачи с применением построений правильных многоугольников. Тема рекомендована как дополнительная к основному курсу геометрии 9 класса.

Скачать:

ВложениеРазмер
iz_istorii_postroeniya.docx23.08 КБ
algoritm_1.docx61.14 КБ
algoritm_2.docx34.37 КБ
algoritm_3.docx65.74 КБ
9-42_reshenie_zadach_po_teme_pravilnyy_mnogougolnik.ppt490 КБ

Предварительный просмотр:

1 . Из истории построения правильных многоугольников

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и другие правильные многоугольники.

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалась проблемой для математиков вплоть до ХIХ века. Построение правильного многоугольника с n сторонами идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Древнегреческий математик Архимед использовал правильные многоугольники для вычисления числа π. Он вычислял площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон. Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решал задачу для

n = 3, 4, 5, 15. Древнегреческие математики умели строить правильные многоугольники.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в вопросе построения правильных многоугольников.

Лишь в1796 году Карл Фридрих Гаусс доказал, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить с помощью циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствия других таких чисел остаётся открытым.Интересно, что поиски простых чисел Ферма на современных компьютерах не дали результатов, все проверенные числа оказывались составными. Поскольку число 7 не является простым числом Ферма, то построить правильный семиугольник с помощью циркуля и линейки невозможно, как невозможно построить одиннадцатиугольник, тринадцати- и четырнадцатиугольники, невозможно построить правильный девятиугольник. Пока известна возможность построения лишь 31 правильного многоугольника с нечётным числом вершин.

В 1894 году была поставлена точка в деле построения правильных многоугольников, когда были построены правильные 17-257-и 65537-угольника.

Предварительный просмотр:

Для построения правильного n – угольника произведём расчёт величины его углов.

Так как сумма всех углов правильного n – угольника равна (n – 2)∙180º и все его углы равны, то угол правильного многоугольника будет вычисляться по формуле:

Вычислив величину угла правильного n – угольника и зная длину его стороны, мы можем построить при помощи транспортира и линейки любой правильный многоугольник.

Например: Построить правильный шестиугольник с заданной стороной а.

Построение выполняем последующему алгоритму.

1.Вычисляем по формуле угол правильного шестиугольника,

2.Проводим при помощи линейки прямую линию.

3.Откладываем при помощи циркуля на прямой отрезок длиной равной а.

4. Строим при помощи транспортира углы величиной 120º с вершинами на

концах отрезка а.

5. Откладываем при помощи циркуля на полученных лучах отрезки длинной равной а.

6. Строим при помощи транспортира углы величиной 120º с вершинами на

концах полученных отрезков.

7. Откладываем при помощи циркуля на полученных лучах отрезки длинной равной а.

8. Соединяем концы полученных отрезков.

Алгоритм построения правильного многоугольника можно изобразить

в следующей последовательности чертежей.

Полученный многоугольник является правильным шестиугольником. Аналогично можно построить любой правильный n – угольник.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector