Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

7. 5. Математический и физический маятники

7.5. Математический и физический маятники

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем:

где и(7.9)

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

(7.10)
(7.11)

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или

.
Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Изучение свободных колебаний математического и пружинного маятников

Цель работы: изучение физических основ свободных незатухающих колебаний; определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника и коэффициента упругости пружины пружинного маятника.

Приборы и оборудование: нитяной маятник, миллиметровая линейка, секундомер, пружина, набор грузов известной массы.

Читайте так же:
Чем почистить медный таз в домашних условиях

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

1.1. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением вида:

Решением этого уравнения является выражение:

где – амплитуда колебаний (максимальное отклонение колеблющейся величины от её среднего значения),

– фаза колебания в момент времени , ;

— круговая (или циклическая) частота, ;

— начальная фаза (т.е. фаза колебания в момент времени с), ;

Период колебаний такого гармонического осциллятора равен

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники при малых амплитудах колебаний и электрический колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, при которых элементы контура можно считать линейными).

1.2. Пружинный маятник

Пружинным маятником называется груз массой , укреплённый на абсолютно упругой, невесомой пружине, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где – жесткость пружины.

Рассмотрим свободные колебания горизонтального пружинного маятника (см. рис. 1)

Он состоит из тележки массой , прикреплённой к вертикальной стене пружиной жёсткостью , которая может практически без трения перемещаться по горизонтальной поверхности. При любых положениях тележки сила тяжести и сила реакции опоры уравновешивают друг друга. При смещении тележки из положения равновесия на величину на неё начинает действовать сила упругости со стороны пружины , под действием которой тележка будет совершать свободные колебания.

Уравнение движения пружинного маятника в проекции на ось Х на основании второго закона Ньютона будет иметь вид:

Если ввести обозначение , то уравнение (3) примет вид . (4)

Уравнение (4) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Таким образом, мы получили, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом колебаний .

Эти формулы справедливы в пределах выполнения закона Гука, то есть при малых деформациях пружины, а так же при условии, что масса пружины мала по сравнению с массой тела.

1.3. Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити и совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити

В этом случае момент инерции математического маятника можно определить по формуле

где — длина маятника (реально — это расстояние от точки подвеса до центра масс шарика)

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив уравнение (8) в формулу (7), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

Читайте так же:
Подставка под дрель для вертикального сверления

Таким образом, математический маятник при небольших отклонениях от вертикали будет также совершать гармонические колебания по закону

с периодом колебаний и циклической частотой .

1.4. Физический маятник

Физическим маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания в вертикальной плоскости вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела (см. рис 3).

Найдём период колебаний физического маятника.

Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент сил относительно оси качания маятника создает только сила тяжести , действующая на маятник (момент силы реакции опоры равен нулю, так как сила реакции проходит через ось маятника).

При отклонении маятника на угол эта сила создает момент , стремящийся возвратить маятник в положение равновесия .

Запишем основное уравнение динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Так как , где и , то (6)

(знак минус в уравнении (6) обусловлен тем, что знаки величин и согласно правилу буравчика или правилу правого винта всегда оказываются противоположными).

— расстояние от центра масс маятника С до оси качания О, ;

— момент инерции маятника относительно оси качания, ,

— ускорение свободного падения, ; — масса маятника, .

Если маятник отклонить на небольшой угол , то можно заменить . В этом случае уравнение (3) примет вид

Если ввести обозначение , то получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний

решением которого является уравнение вида

где — амплитуда колебаний, ; — начальная фаза колебаний, .

Из уравнения (7) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник будет совершать гармонические колебания (т.е. колебания, совершаемые по закону или ) с круговой частотой и периодом колебаний , (7)

где величина называется приведенной длиной физического маятника (т.е. это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, то есть ).

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Начертить таблицу 1 для занесения результатов измерений и расчетов.

Длина нити маятника l 1 = … м

Длина нити маятника l 2 = … м

Количество полных колебаний N

Время N полных колебаний  t 1 , с

Период колебаний Т 1 , с

Абсолютная погрешность периода колебаний  T 1 , с

Количество полных колебаний N

Время N полных колебаний  t 2 , с

Период колебаний Т 2 , с

Абсолютная погрешность периода колебаний  T 2 , с

Установить шарик маятника в нижней части на вертикальной прямой и измерить длину нити маятника.

Заставить маятник качаться, но так, чтобы угол отклонения был достаточно мал (не превышал 4-6 0 ). Измерить секундомером время N = (20 — 30) полных колебаний маятника и вычислить период колебаний маятника: .

Это измерение произвести 4-5 раз для данной длины маятника l 1 и каждый раз вычислить Т 1 . Таким образом, получить несколько значений для Т 1 , найти их среднеарифметическое значение и абсолютные погрешности .

Читайте так же:
Проверить двигатель стиральной машины

Вычислить среднюю абсолютную погрешность периода по формуле , где где t kn — коэффициент Стьюдента, зависящий от заданной вероятности k и числа измерении n . Для k = 0,95, принятой в студенческом практикуме, коэффициент Стьюдента для различного числа измерения n указан в таблице ниже.

Пружинный и математический маятники колебания формулы

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется касательная составляющая силы тяжести (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса , то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка ; при этом величина отличается от не более чем на . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение маятника пропорционально его смещению , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс физического маятника находится ниже оси вращения на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

.

Здесь – расстояние между осью вращения и центром масс .

Здесь – собственная частота малых колебаний физического маятника .

Более строгий вывод формул для и можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение есть вторая производная углового смещения по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

Читайте так же:
Чем убрать ржавчину с железа

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции можно выразить через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс маятника и параллельной оси вращения:

.

Окончательно для круговой частоты свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Свободные колебания и колебательные системы. Математический и пружинный маятник. 9-й класс

На уроке хотелось бы сразу дать учащимся в сравнении колебания пружинного и математического маятников. Обратить внимание на сходство процессов, одинаковое изменение энергий (кинетической и потенциальной) через одинаковые промежутки времени.

Пояснение по форме объяснения учебного материала: на доске удобнее расположить рисунки маятников рядом, разделив доску пополам. Записи для описания характеристик маятников делать на одном уровне.

Цели урока:

  1. Ввести понятия колебательных систем,
  2. Рассмотреть на примерах математического и пружинного маятников особенность свободных колебаний.
  3. Определение параметров идеальных колебательных систем.
  4. Научить выделять существенные признаки колебательных систем.
  5. Формирование потребности в новых знаниях, усвоение предмета.

Демонстрации:

  1. Математический маятник.
  2. Пружинный маятник.

Ход урока

I. Организационный момент (2 мин.)

II. Проверка домашнего задания (7 мин.)

Двое учащихся у доски решают по задаче (проверка и закрепление домашнего материала):

  1. За какое время маятник совершит 30 колебаний, если период колебаний 0,5 с? Чему равна частота колебаний?
  2. Период колебаний крыльев шмеля 5 мс, а частота колебаний крыльев комара 600 Гц. Какое насекомое сделает больше взмахов крыльями за одну минуту и на сколько?

Пока ребята решают задачи у доски, в классе проводится фронтальный опрос:

  1. Что такое колебания?
  2. Приведите примеры колебаний в природе и технике.
  3. Что такое период колебаний? Единицы измерения?
  4. Что такое частота колебаний? Единицы измерения?
  5. Что такое амплитуда колебаний?

Проверяем и списываем задачи с доски, корректируем по форме записи и решению.

III. Объяснение нового материала (25 мин.)

Демонстрация колебательных процессов нитяного и пружинного маятника.

Если вывести системы из положения равновесия, то можем заметить, что через некоторое время колебания затухают. Почему колебания стали возможны?

При выведении систем из положения равновесия, им передается запас энергии, благодаря чему возникают колебания. Энергия заканчивается, система останавливается.

Такие колебания, происходящие только благодаря начальному запасу энергии, называются свободными колебаниями.

Тогда, тело, прикрепленное к пружине, и грузик, подвешенный на нити, называют колебательными системами.

Или физическую систему (тело), в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания, называют колебательной системой.

Маятники: нитяной и пружинный можно отнести к колебательным системам.

Но, для определения основных характеристик, определяемых для колебательных систем, будем считать, что за небольшой промежуток времени потери энергии при колебательном движении достаточно малы, им можно пренебречь. Тогда эти системы можно считать идеальными.

Читайте так же:
Ремонт заклепочника ручного своими руками

Рассмотрим, что математический и пружинный маятники – это идеальные модели колебательных систем, в которых не действуют силы трения. Такие системы обладают, как любое физическое тело, обладают механической энергией.

(На доске удобнее расположить рисунки маятников рядом, разделив доску пополам. Сравнение положений маятников, характеристик колебательных процессов в сравнении).

Пружинный маятник

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из материальной точки массой m и пружин,при движении которой не действуют силы трения.

Период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

где k – коэффициент жесткости пружины маятника. Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Энергия колебаний пружинного маятника:

– Энергия колебаний – это сумма потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза.

Формулы потенциальной и кинетической энергий:

Рассмотрим поведение маятника и изменение его энергии в различных положениях:

1 – (крайнее верхнее положение), х – смещение max, v – скорость равна 0,

от х зависит потенциальная энергия, следовательно Е max, а кинетическая энергия связана со скоростью v, следовательно Е=0.

Переход из 1-2 сопровождается изменением следующих величин:

х – уменьшается, Е уменьшается, v – увеличивается, Е – увеличивается.

2 – (тело проходит положение равновесия)

v – скорость при прохождении положения равновесия самая большая, v – max, следовательно Е – max.

Переход из положения 2-3 происходит при увеличении х, то потенциальна энергия увеличивается, а v- скорость уменьшается, следовательно и кинетическая энергия тоже уменьшается.

3 – (крайне правое положение тела)

х – смещение max, v – скорость равна 0, следовательно Е max, а кинетическая энергия следовательно Е =0.

Математический маятник.

Рассмотрим простой маятник – шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Такой маятник называется физический.

Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Если масса нити во много раз меньше массы шарика, то массой нити также можно пренебречь. В этом случае

мы получаем модель маятника, которая называется математическим маятником.

Математическим маятником называется, материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле силы тяжести (или других сил)

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

Энергия колебаний пружинного маятника:

– Энергия колебаний – это сумма потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза.

Формулы потенциальной и кинетической энергий:

IV. Обобщение материала. (6 мин.)

Тела могут совершать периодически повторяющиеся движения около неподвижной точки. При этом меняются параметры колебательной системы: положение тела. Его скорость, кинетическая и потенциальная энергия.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector