Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Формула зависимости сечения провода от его диаметра. Кто прав

Формула зависимости сечения провода от его диаметра. Кто прав?

Провода, применяемые при монтаже, классифицируются диаметром или площадью поперечного сечения, проще — сечением. Диаметр провода выражается всегда в миллиметрах, а сечение — в квадратных миллиметрах.

В монтажной практике применяются преимущественно круглые провода. Для таких проводов существует следующая формула расчёта сечения проводов по его диаметру:

S = πd2 / 4 = 0, 785 d2,

где S — сечение провода, мм2 ;

π — отношение длины окружности к диаметру, принятое нами равным 3, 14;

d — диаметр провода, мм.

Например, нужно определить сечение провода, имеющего диаметр 0, 75 мм.:

S = 0, 785 d2 = 0, 785 х 0, 75 х 0, 75 = 0, 4415 мм2 .

Округляя 0, 4415 до 0, 45 мм2 , принимаем, что провод, имеющий диаметр 0, 75 мм., обладает поперечным сечением в 0, 45 квадратных миллиметра.

Для многопроволочного проводника сечение равно сечению одной проволоки, умноженному на их число:

где n — число проволок, а остальные обозначения те же, что и в предыдущей формуле.

Например, нужно определить сечение провода, скрученного из 8 проволок, каждая из которых имеет диаметр 0, 2 мм.:

Викторович, Вы не сказали, что есть диаметр провода по меди и диаметр по проводу (с учетом изоляции). С таблицы видно, как отличается диаметр по меди от диаметра провода, для обмоточных проводов.

Викторович: Округляя 0, 4415 до 0, 45
Тема 2-х летней давности поднята, чтобы просто поумничать.
Это в Сибири так учат метрологов округлять?

Викторович: π — отношение длины окружности к диаметру, принятое нами равным 3, 14;
Принятое кем? всеми математиками мира паходу?
Оно хоть принятое хоть измереннное равно чисту ПИ. А обозначение ТТ первый раз вижу.
Викторович: Округляя 0, 4415 до 0, 45 мм2 , принимаем, что провод, имеющий диаметр 0, 75 мм., обладает поперечным сечением в 0, 45 квадратных миллиметра.
все же, округляя, он будет обладать поперечным сечением 0,44мм2. Математику в школе учить надо было.

Странные вычисления? Зная диаметр, определяем радиус (R), ну и затем сечение — Пи умножаем на R в квадрате .В чём проблема? Школа — седьмой класс.

Может, спорят о влиянии толщины эмали? Замер микрометром и вычисление сечения провода «по меди» приведут к грубой ошибке. При любом, самом точном рассчёте радиолюбитель возьмёт тот диаметр, до которого сможет дотянуться. Не на космос работаем.

Вернемся к первому сообщению, автор взял формулу вычисления площади круга, и забыл возвести в квадрат диаметр. По этому, у него вычисленная площадь не совпадала с заявленной продавцами провода площадью сечения.
Я на этой странице дал ссылку на очень полезный PDF по обмоточным проводам, где имеется таблица с указанием и диаметра по меди, и диаметра по проводу, и площади сечения, и погонного сопротивления — для разных проводов. Кстати, не имея микрометра, но имея омметр, и пользуясь таблицей, можно довольно таки точно определить какой провод.
Вот пример, как я определил диаметр очень тонкого провода, измерив сопротивление куска провода длиной 10 см.

Форум про радио — сайт, посвященный обсуждению электроники, компьютеров и смежных тем.

Формула сечения круга через диаметр. Площадь круга: формула

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке »).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R . Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR 2 . Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R 2 .

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S /π .

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · S круга.

Читайте так же:
Ремонт светодиодных ламп мигает

Остается найти S круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: S круга = πR 2 = 8π ; S = 0,25 · S круга = 2π .

Наконец, искомая величина равна S /π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010-2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Пусть исходный круг имеет площадь S круга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

  1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S круга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240: 8 = 30;
  2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S = 40: 5 = 8. Получим:

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64: 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48: 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

  • Длину диаметра – отрезка, проходящего через центр круга и соединяющего две противоположные точки окружности, либо радиуса – отрезка, одна из крайних точек которого находится в центре круга, а вторая – на дуге окружности. Таким образом, диаметр равен длине радиуса, умноженной на два.
  • Значение числа π. Эта величина представляет собой константу – иррациональную дробь, не имеющую конца. При этом она не является периодической. Данное число выражает соотношение длины окружности к ее радиусу. Для вычисления площади круга в заданиях школьного курса используется значение π, приведенное с точностью до сотых – 3,14.

Формулы для нахождения площади круга, его сегмента или сектора

В зависимости от специфики условий геометрической задачи применяются две формулы нахождения площади круга:

Чтобы определить, как найти площадь круга проще всего, нужно тщательно проанализировать условия задания.

Школьный курс геометрии также включает в себя задачи на расчет площади сегментов или секторов, для которых применяются специальные формулы:

  1. Сектор представляет собой часть круга, ограниченную окружностью и углом с вершиной, расположенной в центре. Площадь сектора рассчитывается по формуле: S = (π*r 2 /360)*А;
    • r – радиус;
    • А – величина угла в градусах.
    • r – радиус;
    • р – длина дуги.

Также существует второй вариант S = 0,5*р*r;

  • r – радиус;
  • А – величина угла в градусах;
  • S ∆ – площадь треугольника, сторонами которого являются радиусы и хорда круга; при этом одна из его вершин располагается в центре круга, а две других – в точках соприкосновения дуги окружности с хордой. Важный момент – знак “минус” ставится в том случае, если значение А меньше 180 градусов, а знак “плюс” – если больше 180 градусов.

Чтобы упростить решение геометрической задачи, можно вычислить площадь круга он-лайн . Специальная программа быстро и безошибочно сделает расчет за пару секунд. Как рассчитать он-лайн площадь фигур? Для этого необходимо известные ввести исходные данные: радиус, диаметр, величину угла.

Используйте число Пи для нахождения радиуса по известной площади круга. Эта константа задает пропорцию между диаметром круга и длиной его границы (окружности). Длина окружности максимальную площадь плоскости, которую возможно с ее помощью охватить, а диаметр равняется двум радиусам, поэтому и площадь с радиусом тоже соотносятся друг с другом с пропорцией, которую можно выразить через число Пи. Эта константа (π) определяется как площади (S) и возведенного в квадрат радиус (r) круга. Из этого вытекает, что радиус можно выразить, как квадратный корень из частного от деления площади на число Пи: r=√(S/π).

Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую знаменитую библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел нехитрый метод определять простые числа, называемый теперь «решето Эрастофена».

Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, чтобы демонстрировать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.

  • Греческий ученый Эратосфен Киренский впервые в мире вычислил радиус Земли
  • Eratosthenes» Calculation of Earth»s Circumference
  • Eratosthenes

Круг – это видимая совокупность множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, необходимо знать, что такое радиус, диаметр, число π и окружность.

Величины, участвующие в расчете площади круга

Расстояние, ограниченное центральной точкой круга и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры. Длины всех радиусов одного круга одинаковы. Отрезок между 2 любыми точками окружности, который проходит через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

Для подсчета площади круга применяется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра круга и имеет неизменное значение. Π = 3,1415926. Длина окружности высчитывается по формуле L=2πR.

Найти площадь круга через радиус

Следовательно, площадь круга равна произведению числа π на радиус окружности, возведенный во 2 степень. В качестве примера примем длину радиуса окружности равной 5 см. Тогда площадь круга S будет равна 3,14*5^2=78,5 кв. см.


/>

Площадь круга через диаметр

Площадь круга можно также подсчитать, зная величину диаметра круга. В таком случае S = (π/4)*d^2, где d – диаметр круга. Возьмем тот же пример, где радиус равен 5 см. Тогда его диаметр будет равен 5*2=10 см. Площадь круга S = 3,14/4*10^2=78,5 кв.см. Результат, равный итогу вычислений в первом примере, подтверждает правильность расчетов в обоих случаях.

Площадь круга через длину окружности

Если радиус круга представить через длину окружности, то формула будет иметь следующий вид: R=(L/2)π. Подставим это выражение в формулу площади круга и в результате получим S=(L^2)/4π. Рассмотрим пример, в котором длина окружности равна 10 см. Тогда площадь круга S = (10^2)/4*3,14=7,96 кв. см.

Площадь круга через длину стороны вписанного квадрата

Если в круг вписан квадрат, то длина диаметра круга равна длине диагонали квадрата. Зная величину стороны квадрата, можно легко узнать диаметр круга по формуле: d^2=2a^2. Другими словами диаметр во 2 степени равен стороне квадрата во 2 степени, умноженной на 2.

Вычислив значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, после чего воспользоваться одной их формул определения площади круга.

Площадь сектора круга

Сектор – это часть круга, ограниченная 2 радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360. Чтобы высчитать площадь сектора, значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, вычисленную по одной из вышеперечисленных формул.


/>

– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.

Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:

Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата


Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Площадь круга

Круг

Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

S=<pi data-lazy-src=

S=pi<(l/2pi) data-lazy-src=

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: d^2=2a^2отсюда d=sqrt<2a^2 data-lazy-src=

Сегмент круга (закрашен жёлтым)

История [ править | править код ]

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Гиппократ Хиосский (в своих попытках квадрирования гиппократовых луночек) первым сформулировал утверждение: площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение [2] [3] . Однако они не установили значения коэффициента пропорциональности.

Античные математики также безуспешно пытались решить задачу «квадратуры круга», то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие; неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π , которая была доказана в 1882 году Линдеманом [4] .

Для доказательства Архимед построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон (см. ниже).

Средневековые европейские математики использовали для обоснования формулы площади круга метод неделимых. Представим себе разворачивание концентричных кругов бесконечно малой толщины в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2 π r (основание получается из внешней окружности круга). Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Доказательства [ править | править код ]

Предельный переход [ править | править код ]

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к кругу, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус [5] , то есть π ⋅ r ⋅ r = π r 2 > .

Доказательство Архимеда [ править | править код ]

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше [ править | править код ]

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = 1 ⁄2cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем [en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G4 больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G8. Продолжаем деление, пока общий зазор Gn не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника Pn = C − Gn должна быть больше площади треугольника.

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт 1 ⁄2nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника 1 ⁄2cr, получили противоречие.

Не меньше [ править | править код ]

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G4 больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника Pn должна быть меньше T.

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой [ править | править код ]

Интегрирование [ править | править код ]

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

Быстрая аппроксимация [ править | править код ]

Метод удвоения Архимеда [ править | править код ]

Если задан круг, пусть un будет периметром вписанного правильного n-угольника, а Un — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда un и Un являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (un + Un)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить un и Un для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше). Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u6 = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U6 = 4√3. Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2 k .

k  n   un Un (un + Un)/4
66,00000006,92820323,2320508
1126,21165716,43078063,1606094
2246,26525726,31931993,1461443
3486,27870046,29217243,1427182
4966,28206396,28542923,1418733
51926,28290496,28374613,1416628
63846,28311526,28332553,1416102
77686,28316786,28322043,1415970

Улучшение Снелла-Гюйгенса [ править | править код ]

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда [ править | править код ]

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину sn и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна cn и эту длину будем называть дополнением sn. Тогда cn 2 +sn 2  = (2r) 2 . Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s2n, длина C′A равна c2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+ 1 ⁄2cn, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону Sn, тогда отношение превращается в Sn : sn = 1 :  1 ⁄2cn. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

Обозначим периметр вписанного многоугольника через un = nsn, а описанного через Un = nSn. Комбинируя равенства, получим

Можно также вывести

Аппроксимация случайными бросаниями [ править | править код ]

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10 −n необходимо около 100 n случайных испытаний [10] .

Конечная перегруппировка [ править | править код ]

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем [11] , что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения [ править | править код ]

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector