Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

4. 3. Абсолютная и относительная деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

4.3. Абсолютная и относительная деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

Выделим из стержня на участке, где действует постоянная продольная сила N, некоторую его часть длиной l и шириной b (см. рис. 4.3, а). Опыты показывают, что при растяжении резинового стержня его длина увеличивается, а ширина уменьшается. Пусть l1 и b1 – длина и ширина стержня после деформации соответственно.

Изменение длины стержня при растяжении (сжатии) называется абсолютной продольной деформацией и определяется по формуле

l = l1 l2.

Отношение абсолютной продольной деформации к первоначальной длине стержня называется относительной продольной деформацией и определяется по формуле

/>.

По аналогии с продольными деформациями имеем:

b = b1 b, ∆h = h1 h абсолютные поперечные деформации;

– относительные поперечные деформации.

При растяжении: N  0, l  0, ε  0, b < 0, ε < 0; при сжатии: N < 0, l < 0, ε < 0, b  0, ε  0.

Закон Гука – относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению, а именно:

,

где Е – модуль Юнга или модуль упругости первого рода (кН/см 2 , МПа).

Используя зависимости , получим

Абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе в пределах участка длиной l при постоянных N и EА, где EА – жесткость поперечного сечения при растяжении (сжатии).

Коэффициент Пуассона  – безразмерная величина, характеризующая упругие свойства и способность материала деформироваться в поперечном направлении при его растяжении или сжатии в продольном направлении.

Для реальных материалов коэффициент Пуассона изменяется в очень узких пределах:  = 0…0,5.

Значение  для некоторых материалов:

— пробка – ;

— резина – ;

— сталь – ;

— свинец – ;

— бетон – ;

Значение коэффициента Пуассона определяется опытным путем в результате специальных испытаний материала.

4.4. Условия прочности и жесткости

Условие прочности элементов конструкций и сооружений рассмотрено в главе 3.

В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы машин, конструкций и сооружений требуется проектировать размеры деталей и элементов таким образом, чтобы обеспечивалось условие жесткости:

,

где – допускаемое удлинение, задается техническими условиями.

Удлинение ступенчатых стержней, а также когда внешние силы приложены в разных точках продольной оси стержня, определяется суммированием удлинений отдельных участков.

,

где Ni, li, Ei, Аi – нормальная сила, длина, модуль упругости и площадь поперечного сечения іго участка соответственно.

Условие жесткости позволяет выполнять три вида расчетов:

1) проверочный: ;

2) проектировочный: (стержень постоянного сечения);

3) расчет грузоподъемности или несущей способности:

.

4.5. Потенциальная энергия упругой деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение его геометрии, совершают работу АF на соответствующих перемещениях. В упругом теле накапливается потенциальная энергия деформации U. При действии динамических нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К.

Уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

АF = U + K.

При статическом нагружении упругого тела работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации, следовательно, АF = U. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. При этом упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в заводных пружинах часовых механизмов, в конструкции лука и т. д. Для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим простейший случай – растяжение стержня.

Читайте так же:
Чем просверлить нержавейку 2мм

На рис. 4.5, а изображен стержень, растягиваемый силой F, удлинение которого соответствует l. График изменения величины удлинения стержня l в зависимости от силы F показан на рис. 4.5, б. В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Рис. 4.5. а – схема растягиваемого стержня; б – график зависимости F – ∆l

Пусть некоторому значению силы F соответствует удлинение стержня l. Дадим некоторое приращение силе F  соответствующее приращение удлинения составит d (l ). Элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

.

Вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда при линейной зависимости работа внешней силы F на перемещении l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 4.5, б), т. е.

Если напряжения и деформации распределены по объему тела V равномерно, то потенциальную энергию деформации стержня можно записать в следующем виде:

,

где V = А l, F = A, = Е ;

А – площадь поперечного сечения стержня.

.

С учетом для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением при F = const получим:

.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Относительная деформация при растяжении

В твердых телах – аморфных и кристаллических – частицы (молекулы, атомы, ионы) совершают тепловые колебания около положений равновесия, в которых энергия их взаимодействия минимальна. При увеличении расстояния между частицами возникают силы притяжения, а при уменьшении – силы отталкивания (см. §3.1). Силы взаимодействия между частицами обусловливают механические свойства твердых тел.

Деформация твердого тела является результатом изменения под действием внешних сил взаимного расположения частиц, из которых состоит тело, и расстояний между ними.

Существует несколько видов деформаций твердых тел. Некоторые из них представлены на рис. 3.7.1.

Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия. Ее можно характеризовать абсолютным удлинением , возникающим под действием внешней силы Связь между и зависит не только от механических свойств вещества, но и от геометрических размеров тела (его толщины и длины).

Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине образца называется относительным удлинением или относительной деформацией :

При растяжении , при сжатии .

Если принять направление внешней силы, стремящейся удлинить образец, за положительное, то при деформации растяжения и – при сжатии. Отношение модуля внешней силы к площади сечения тела называется механическим напряжением :

За единицу механического напряжения в СИ принят паскаль (). Механическое напряжение измеряется в единицах давления.

Зависимость между и является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения . По оси абсцисс откладывается относительное удлинение , а по оси ординат – механическое напряжение . Типичный пример диаграммы растяжения для металлов (таких как медь или мягкое железо) представлен на рис. 3.7.2.

При малых деформациях (обычно существенно меньших 1 %) связь между и оказывается линейной (участок на диаграмме). При этом при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется упругой. Максимальное значение , при котором сохраняется линейная связь между и , называется пределом пропорциональности ). На линейном участке выполняется закон Гука :

Читайте так же:
Принцип работы дверного звонка

Коэффициент в этом соотношении называется модулем Юнга .

При дальнейшем увеличении напряжения связь между и становится нелинейной (участок ). Однако при снятии напряжения деформация практически полностью исчезает, т. е. восстанавливаются размеры тела. Максимальное напряжение на этом участке называется пределом упругости .

Если , образец после снятия напряжения уже не восстанавливает свои первоначальные размеры и у тела сохраняется остаточная деформация . Такие деформации называются пластическими (участки , и ). На участке деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. В точке достигается наибольшее напряжение , которое способен выдержать материал без разрушения ( предел прочности ). В точке происходит разрушение материала.

Материалы, у которых диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рис. 3.7.2, называются пластичными . У таких материалов обычно деформация , при которой происходит разрушение, в десятки раз превосходит ширину области упругих деформаций. К таким материалам относятся многие металлы.

Материалы, у которых разрушение происходит при деформациях, лишь незначительно превышающих область упругих деформаций, называются хрупкими (стекло, фарфор, чугун).

Аналогичным закономерностям подчиняется и деформация сдвига (рис. 3.7.1 (2)). В этом случае вектор силы направлен по касательной к поверхности образца. Относительная деформация определяется безразмерным отношением , а напряжение – отношением (сила, действующая на единицу площади поверхности). При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности в этом отношении называется модулем сдвига . Модуль сдвига для большинства твердых материалов в меньше модуля Юнга. Например, у меди , . Следует помнить, что у жидких и газообразных веществ модуль сдвига равен нулю.

На рис. 3.7.1 (3) показана деформация всестороннего сжатия твердого тела, погруженного в жидкость. В этом случае механическое напряжение совпадает с давлением в жидкости. Относительная деформация определяется как отношение изменения объема к первоначальному объему тела. При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется модулем всестороннего сжатия .

Всестороннему сжатию могут подвергаться не только твердые тела, но и жидкости и газы. У воды , у стали . На дне Тихого океана, на глубине порядка , давление приблизительно равно . В этих условиях относительное изменение объема воды составляет , в то время как для стального тела оно составляет всего лишь , т. е. в меньше. Твердые тела с их жесткой кристаллической решеткой значительно менее сжимаемы по сравнению с жидкостями, атомы и молекулы которых не так сильно связаны со своими соседями. Сжимаемость газов на много порядков выше, чем у жидкостей и твердых тел.

Величина модуля всестороннего сжатия определяет скорость звука в данном веществе (см. §2.7).

Относительная деформация

Изменение размеров, объема и возможно формы тела, при внешнем воздействии на него, называют в физике деформацией. Тело деформируется при растяжении, сжатии или (и), при изменении его температуры.

Деформация появляется тогда, когда разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому возникают силы упругости.

Пусть прямой брус, длиной lи, имеющий постоянное сечение, закреплен одним концом. За другой конец его растягивают, прикладывая силу \overline{F}(рис.1). При этом тело удлиняется на величину \Delta l, которую называют абсолютным удлинением (или абсолютной продольной деформацией).

Читайте так же:
Реле давления для компрессора в сборе

Относительная деформация, рисунок 1

В любой точке рассматриваемого тела имеется одинаковое напряженное состояние. Линейную деформацию (\varepsilon) при растяжении и сжатии подобных объектов называют относительным удлинением (относительной продольной деформацией):

\[\varepsilon =\frac{\Delta l}{l} \qquad (1)\]

Относительная продольная деформация

Относительная продольная деформация – величина безразмерная. Как правило относительное удлинение много меньше единицы (\varepsilon \ll 1).

Деформацию удлинения обычно считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.

Если напряжение в брусе не превышает некоторого предела, экспериментально установлена зависимость:

\[\varepsilon =\frac{F_p}{ES} \qquad (2)\]

где F_p– продольная сила в поперечных сечениях бруса; S – площадь поперечного сечения бруса; E – модуль упругости (модуль Юнга) – физическая величина, характеристика жёсткости материала. Принимая о внимание то, что нормальное напряжение в поперечном сечении (\sigma):

\[\sigma =\frac{F_p}{S} \qquad (3)\]

\[\varepsilon =\frac{\sigma}{E} \qquad (4)\]

Абсолютное удлинение бруса можно выразить как:

\[\Delta l=\varepsilon l=\frac{F_p}{ES}l \qquad (5)\]

Выражение (5) является математической записью закона Р. Гука, который отражает прямую зависимость между силой и деформацией при небольших нагрузках.

В следующей формулировке, закон Гука используется не только при рассмотрении растяжения (сжатия) бруса: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Относительная деформация при сдвиге

При сдвиге относительную деформацию характеризуют при помощи формулы:

\[\text{tg}\ \gamma =\frac{\Delta s}{h} \qquad (6)\]

где \text{tg}\ \gamma– относительный сдвиг; \Delta s– абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; \gamma– угол сдвига.

Закон Гука для сдвига записывают как:

\[\Delta s=\frac{Fh}{GS} \qquad (7)\]

где G – модуль сдвига, F – сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.

Примеры решения задач

Относительная деформация, пример 1

\[\varepsilon =\frac{F_p}{ES}=\frac{mg}{ES} \qquad (1.1)\]

где F_p=mg. Прежде чем проводить расчет, следует найти в справочниках модуль Юнга для стали. E=2\cdot {10}^{11}Па.

\[\varepsilon =\frac{2000\cdot 9,8}{2\cdot {10}^{11}\cdot 0,0004}=2,46\cdot {10}^{-4}\]

Относительная деформация, пример 2

\[\text{tg}\ \gamma =\frac{\Delta s}{h} \qquad (2.1)\]

если угол сдвига малый, то можно считать, что:

\[\gamma \approx \frac{\Delta s}{h} \qquad (2.2)\]

По закону Гука имеем:

\[\Delta s=\frac{Fh}{GS} \qquad (2.3)\]

где S=a^2. Подставляя (2.3) в (2.2), имеем:

Статическое растяжение

Статическое растяжение — одно из наиболее распространённых видов испытаний для определения механических свойств материалов.

Содержание

Основные характеристики, определяемые при испытании [ править | править код ]

При статическом растяжении, как правило, определяются следующие характеристики материала.

  • Характеристики прочности:
      , , (временное сопротивление разрушению), .
      , .
    • модуль упругости (модуль Юнга).
    • коэффициент механической анизотропии
    • коэффициент (модуль) упрочнения

    Основные типы материалов [ править | править код ]

    Принято разделять пластичные и хрупкие материалы. Основное отличие состоит в том, что первые деформируются в процессе испытаний с образованием пластических деформаций, а вторые практически без них вплоть до своего разрушения. За критерий для условной классификации материалов можно принять относительное остаточное удлинение δ = (lк − l)/l, где l и lк — начальная и конечная длина рабочей части образца), обычно вычисляемое в процентах. В соответствии с величиной остаточного удлинения материалы можно разделить на:

    • пластичные (δ ≥ 10 %);
    • малопластичные (5 % < δ < 10 %);
    • хрупкие (δ ≤ 5 %).

    Существующие материалы могут быть изотропными или анизотропными. В последнем случае из-за различия характеристик в различных направлениях необходимо произвести не одно, а несколько испытаний.

    Образцы для испытаний на статическое растяжение [ править | править код ]

    Для испытаний на статическое растяжение используют образцы как с круглым, так и с прямоугольным сечением. Предъявляются повышенные требования к изготовлению образцов, как с точки зрения геометрии, так и с точки зрения обработки резанием. Требуется высокая однородность диаметра образца по его длине, соосность и высокое качество поверхности (малая шероховатость, отсутствие царапин и надрезов). При изготовлении образцов следует избегать перегрева материала и изменений его микроструктуры.

    Образцы круглого сечения, как правило, имеют рабочую длину, равную четырём или пяти диаметрам — т. н. короткие образцы или десяти диаметрам — т. н. нормальные образцы. Перед началом испытания замеряется диаметр образца (обычно 6, 10 или 20 мм) для вычисления напряжения σ и для расчёта относительного остаточного сужения после разрушения образца. В случае использования экстензометра, длина рабочей части образца не замеряется, а деформация ε и относительное удлинение при разрушении регистрируются автоматически с помощью компьютера или измеряются по диаграмме σ — ε. При отсутствии экстензометра (не рекомендуется стандартом), отмечается рабочая длина образца, деформация ε рассчитывается по перемещениям конца образца (захвата), а относительное удлинение при разрушении рассчитывается путём замера разрушенного образца.

    Диаграмма растяжения пластичного материала [ править | править код ]

    Обычно диаграмма растяжения является зависимостью приложенной нагрузки P от абсолютного удлинения Δl. Современные машины для механических испытаний позволяют записывать диаграмму в величинах напряжения σ (σ = P/A, где A — исходная площадь поперечного сечения) и линейной деформации ε (ε = Δl/l ). Такая диаграмма носит название диаграммы условных напряжений, так как при этом не учитывается изменение площади поперечного сечения образца в процессе испытания.

    Начальный участок является линейным (т. н. участок упругой деформации). На нём действует закон Гука:

    Затем начинается область пластической деформации. Эта деформация остаётся и после снятия приложенной нагрузки. Переход в пластическую область обнаруживается не только по проявлению остаточных деформаций, но и по уменьшению наклона кривой с увеличением степени деформации. Данный участок диаграммы обычно называют площадкой (зоной) общей текучести, так как пластические деформации образуются по всей рабочей длине образца. С целью изучения и точного анализа диаграммы деформации, современные испытательные машины оснащены компьютеризированной записью результатов.

    По наклону начального участка диаграммы рассчитывается модуль Юнга. Для малоуглеродистой стали наблюдается т. н. «зуб текучести» и затем площадка предела текучести. Явление «зуба» текучести связано с дислокационным механизмом деформации. На начальном участке плотность дислокаций является недостаточной для обеспечения более высокой степени деформации. После достижения точки верхнего предела текучести начинается интенсивное образование новых дислокаций, что приводит к падению напряжения. Дальнейшая деформация при пределе текучести происходит без роста напряжения σ . Зависимость предела текучести, σ T > от размера зерна, d, выражена соотношением Холла-Петча:

    После достижения конца площадки текучести (деформация порядка 2 — 2,5 %) начинается деформационное упрочнение (участок упрочнения), видимое на диаграмме, как рост напряжения с ростом деформации. В этой области до достижения максимальной нагрузки (напряжения (σВ) макродеформация остаётся равномерной по длине испытуемого образца. После достижения точки предела прочности начинает образовываться т. н. «шейка» — область сосредоточенной деформации. Расположение «шейки» зависит от однородности геометрических размеров образца и качества его поверхности. Как правило, «шейка» и, в конечном счёте, место разрушения расположено в наиболее слабом сечении. Кроме того, важное значение имеет одноосность напряжённого состояния (отсутствие перекосов образца в испытательной машине). Для пластичных материалов при испытании на статическое растяжение одноосное напряжённое состояние сохраняется лишь до образования т. н. «шейки» (до достижения максимальной нагрузки и начала сосредоточенной деформации).

    Вид диаграммы деформации, приведённый на рис. 1 является типичным для О.Ц.К. материалов с низкой исходной плотностью дислокаций.

    Для многих материалов, например, с Г. Ц. К. кристаллической решёткой, а также для материалов с высокой исходной плотностью дефектов, диаграмма имеет вид, показанный на рис. 2. Основное отличие — отсутствие явно выраженного предела текучести. В качестве предела текучести выбирается значение напряжения при остаточной деформации 0,2 % (σ0.2).

    После достижения максимума нагрузки происходит падение нагрузки (и, соответственно, напряжения σ) за счёт локального уменьшения площади поперечного сечения образца. Соответствующий (последний) участок диаграммы называют зоной местной текучести, так как пластические деформации продолжают интенсивно развиваться только в области шейки.

    Иногда используется диаграмма истинных напряжений, S — e (истинное напряжение S = P/A, где A — текущая площадь поперечного сечения образца; истинная деформация e = ln(l+Δl/l), где l — текущая длина образца). В этом случае, после достижения максимальной нагрузки не происходит падения напряжения, истинное напряжение растёт за счёт локального уменьшения сечения в «шейке» образца. Поэтому различие между диаграммами истинных и условных напряжений наблюдается только после предела прочности — до точки 1 они практически совпадают друг с другом.

    Образцы из пластичного материала разрушаются по поперечному сечению с уменьшением диаметра в месте разрыва из-за образования «шейки».

    Диаграмма растяжения хрупкого материала [ править | править код ]

    Диаграмма растяжения и диаграмма условных напряжений хрупких материалов по виду напоминает диаграмму, показанную на рис. 2 за тем исключением, что не наблюдается снижения нагрузки (напряжения) вплоть до точки разрушения. Кроме того, данные материалы не получают таких больших удлинений как пластичные и по времени разрушаются гораздо быстрее. На диаграмме хрупких материалов уже на первом участке имеется ощутимое отклонение от прямолинейной зависимости между нагрузкой и удлинением (напряжением и деформацией), так что о соблюдении закона Гука можно говорить достаточно условно. Так как пластических деформаций хрупкий материал не получает, то в ходе испытания не определяют предела текучести. Не имеет особенного смысла также рассчитывать и относительное сужение образца, так как шейка не образуется и диаметр после разрыва практически не отличается от исходного.

    Влияние скорости деформации и температуры на прочностные характеристики [ править | править код ]

    Стандарты на проведение испытаний на статическое растяжение, как правило, ограничивают скорость деформации или скорость приложения нагрузки. Так, стандарт ASTM E-8 ограничивает скорость деформации величиной 0,03 — 0,07 мм/мин. Такое ограничение вызвано искажением результатов за счёт повышения прочности металлов с ростом скорости деформации (при постоянной температуре). При скоростях деформации до 1 сек − 1 > скорость деформации практически не влияет на прочностные характеристики (в частности, на предел текучести) (источник. ).

    В общем виде можно выразить формулу влияния скорости деформации на предел текучести в виде:

    Эта же зависимость даёт и зависимость напряжения течения от температуры. В области низких температур и при отсутствии фазовых превращений прочность кристаллических материалов повышается. Вклад в повышение прочности даёт и переход от термически активируемого процесса деформации за счёт движения дислокаций к механизму деформации путём двойникования.

    голоса
    Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector