Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Формула циклической частоты колебаний

Формула циклической частоты колебаний

Определение и формула циклической частоты колебаний

Циклическая частота — это параметр, характеризующий колебательные движения. Обозначают эту скалярную величину как $omega $, иногда $_0$.

Напомним, что уравнение гармонических колебаний параметра $xi $ можно записать как:

где $A=_$ — амплитуда колебаний величины $xi $; $left(_0t+_0right)$=$varphi $ — фаза колебаний; $_0$ — начальная фаза колебаний.

Циклическую частоту при гармонических колебаниях определяют как частную производную от фазы колебаний ($varphi $) по времени ($t$):

Циклическая частота колебаний связана с периодом ($T$) колебаний формулой:

Циклическую частоту с частотой $?$$?$ связывает выражение:

Формулы для частных случаев нахождения циклической частоты

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной:

$k$ — коэффициент упругости пружины; $m$ — масса груза на пружине.

Гармонические колебания физического маятника происходят с циклической частотой равной:

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника.

Частным случаем физического маятника является математический маятник (физический маятник, масса которого сосредоточена в точке), циклическая частота его колебаний может быть найдена как:

где $l$ — длина подвеса, на которой находится материальная точка.

Частота колебаний в электрическом контуре равна:

где $C$ — емкость конденсатора, который входит в контур; $L$ — индуктивность катушки контура.

Если колебаний являются затухающими, то их частоту находят как:

где $delta $ — коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний, $_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.

Примеры задач с решением

Задание. В электрический колебательный контур (рис.1) входит соленоид, длина которого $l$, площадь поперечного сечения $S_1$, число витков $N $и плоский конденсатор с расстоянием между пластинами $d$, площадью пластин $S_2$. Какова частота собственных колебаний контура ($_0$)?

Формула циклической частоты колебаний, пример 1

Решение. Основой для решения задачи служить формула для частоты колебаний в электрическом контуре:

Элементом, обладающим индукцией в нашем контуре является соленоид. Индуктивность соленоида равна:

где $mu =1$, $_0$ — магнитная постоянная.

Емкость плоского конденсатора вычислим по формуле:

где $varepsilon =1$, $_<0 >$ — электрическая постоянная.

Правые части выражений (1.2) и (1.3) подставим в (1.1) вместо соответствующих величин:

Задание. Чему равна циклическая частота гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда скорости точки равна $>_=v_0$, амплитуда ее ускорения: $>_=a_0$? Начальная фаза колебаний равна нулю.

Решение. Из контекста условий задачи понятно, что колебания совершает координата $x$, поэтому уравнение колебаний (в общем виде) запишем как:

По условию задачи $_0$=0. Тогда уравнение для скорости изменения параметра $xleft(tright)$ имеет вид:

Лабораторная работа 3 свободные механические колебания (математический маятник и груз на пружине)

Ознакомьтесь с конспектом лекций и учебником. Запустите программу. Выберите «Механика», «Механические колебания и волны» и «Свободные колебания» (сначала математический маятник, потом груз на пружине). Нажмите вверху внутреннего окна кнопку с изображением страницы. Прочитайте краткие теоретические сведения. Необходимое запишите в свой конспект.

Читайте так же:
Станки для сувальдных ключей
ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Выбор физических моделей для анализа движения тел.

Исследование движения тела под действием квазиупругой силы.

Экспериментальное определение зависимости частоты колебаний от параметров системы.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

КОЛЕБАНИЕ это периодически повторяющееся движения тела. ПЕРИОД колебаний T — минимальное время, за которое совершается одно полное колебание.

ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ — движение, при котором координата тела меняется со временем по закону синуса или косинуса: .

Основными характеристиками гармонических колебаний являются:

АМПЛИТУДА А 0 – максимальное значение параметра А.

ЦИКЛИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА собственных колебаний  0 — в 2 раз большая обычной или линейной частоты  = 1/Т ( — число полных колебаний за единицу времени).

ФАЗА ( 0 t +  0 ) – значение аргумента косинуса.

НАЧАЛЬНАЯ ФАЗА  0 – значение аргумента косинуса при t = 0.

свободных гармонических колебаний параметра А: , (1)

свободных затухающих колебаний, для которых сила трения , (– скорость маятника):

где – коэффициент затухания, b – коэффициент трения, m – масса маятника.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК (ММ) и ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК (ПМ) это МОДЕЛИ объектов, в которых могут происходить гармонические колебания. ММ это материальная точка, подвешенная на идеальной (невесомой и нерастяжимой) нити. ПМ это материальная точка, прикрепленная к идеальной (невесомой и подчиняющейся закону Гука) пружине. Формулы для  0 в этих системах выпишите из конспекта или учебника.

ЗАДАНИЕ: Выведите формулу для циклической частоты свободных колебаний кубика на пружине, лежащего на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности.

УКАЗАНИЯ: Выпишите формулу для второго закона Ньютона. Подставьте в нее все реальные силы, действующие на кубик. Спроектируйте полученное векторное уравнение на вертикальную и горизонтальную оси. Проведя тождественные преобразования, получите уравнение, похожее на дифференциальное уравнение свободных колебаний. Константу, являющуюся множителем перед А, приравняйте к квадрату циклической частоты, откуда получите .

МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ
Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений!

Внимательно рассмотрите рисунки, найдите все регуляторы и другие основные элементы. Зарисуйте поле движения тела с регуляторами соответствующих параметров (укажите, что они регулируют).

Выберите «Маятник». Установите с помощью движков регуляторов максимальную длину нити L и значения коэффициента трения и начального угла, указанные в табл. 1 для вашей бригады. Нажимая мышью на кнопку «СТАРТ», следите за движением точки на графиках угла и скорости и за поведением маятника. Потренируйтесь, останавливая движение кнопкой «СТОП» (например, в максимуме смещения), и запуская далее кнопкой «СТАРТ». Выберите число полных колебаний N = 3 – 5 и измеряйте их продолжительность t (как разность t 2 — t 1 из таблицы на экране).

Читайте так же:
Пластиковая щетка для браширования

Приступайте к измерениям длительности t для N =3 5 полных колебаний, начиная с максимальной длины (150 см) нити маятника и уменьшая ее каждый раз на 10 см (до минимальной длины 80 см). Длину нити L и результаты измерений длительности t записывайте в таблицу 2, образец которой приведен ниже.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2

Выберите лабораторную работу « Груз на пружине ». Установите массу груза, значение коэффициента трения и начальное смещение, указанные в табл.1 для вашей бригады. Проведите измерения, аналогичные эксперименту 1, увеличивая коэффициент жесткости k каждый раз на 1 Н/м.

Таблица 1. Значения коэффициента трения, начального угла отклонения (для первого эксперимента) и начального отклонения (для второго).

Формула циклической частоты свободных колебаний пружинного маятника

Маятник на пружине — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

T = 2 π m k <displaystyle T=2pi <sqrt <frac >>> .

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

m a = − k x ⟺ x ¨ + k m x = 0 <displaystyle ma=-kxiff <ddot >+<frac >x=0>

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

x ¨ + k m x = f ( x ) <displaystyle <ddot >+<frac >x=f(x)> , где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

x ¨ + c m x ˙ + k m x = f ( x ) <displaystyle <ddot >+<frac ><dot >+<frac >x=f(x)>

Свойства пружинного маятника

Идеальный пружинный маятник представляет собой пружину, массой которой можно пренебречь, с закрепленным на ней телом с точечной массой. При этом один или оба конца пружины закреплены, а силой трения можно пренебречь.

Такую конструкцию можно рассматривать лишь как математическую модель. Примерами реальных пружинных маятников (навитых из упругой проволоки цилиндрических спиралей) могут служить всевозможные устройства, гасящие колебания: амортизаторы, подвески, рессоры и т.п. Пружинные маятники, хотя и несколько иной конструкции (в виде плоских спиралей) используются в механических часах.

Читайте так же:
Состав для холодного цинкования металла

Свойства пружин зависят от вещества, из которого они изготовлены (как правило, это особая пружинная сталь), диаметра проволоки, формы ее сечения, диаметра цилиндра пружины, его длины. Эти показатели в совокупности обуславливают ключевую характеристику пружины – ее жесткость.

Пружина запасает энергию при продольном растяжении или сжатии за счет упругих деформаций в кристаллической решетке своего вещества.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

При слишком сильном растяжении или сжатии материал пружины теряет упругие свойства. Такая деформация называется пластической или остаточной.

Формула для расчета частоты колебаний

Если пружину с закрепленной на ней грузом, подвергнуть продольной упругой деформации, а затем отпустить, она начнет совершать возвратно-поступательные гармонические колебания, в ходе которых перемещение закрепленного на ней груза описывается формулой:

$x = A cdot cos(omega_0 cdot t + phi)$

Здесь $A$ – амплитуда колебаний, $phi$ – начальная фаза, $omega_0$ – собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника, рассчитываемая как

  • $k$ – жесткость пружины,
  • $m$ – масса закрепленного на ней тела.

Циклическая частота отличается тем, что характеризует не количество полных циклов за единицу времени, а количество "пройденных" колеблющейся по гармоническому закону точкой радиан.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Период колебаний пружинного маятника вычисляется как

$T = 2 cdot pi cdot sqrt<frac >$.

Найти частоту и циклическую частоту пружинного маятника, период колебаний которого составляет 0,1 с.

Частоту можно найти как величину обратную к периоду:

Циклическую частоту можно выразить как

$omega_0 = 2 cdot pi cdot f$

$omega_0 = 2 cdot 3,1415927 cdot 10 approx 62,831854 frac<рад><с>$

Ответ: 10 герц и $approx$ 62,831854 радиан в секунду.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

В этом соотношении – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы , прикрепленный к пружине жесткости , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Рисунок 2.2.1.

Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

Частота называется собственной частотой колебательной системы.

Период гармонических колебаний груза на пружине равен

Читайте так же:
Что такое ручной лобзик

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

m cos .

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то m = , .

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то

Таким образом, амплитуда m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Циклическая частота колебаний

Любые колебательные процессы в Природе (в том числе и непериодические) могут быть представлены в виде бесконечной суммы простых гармонических колебаний. Поэтому в первую очередь изучаются гармонические колебания. Рассмотрим такую характеристику этих колебаний, как циклическая частота.

Период и частота гармонических колебаний

Впервые гармоническими колебаниями заинтересовались еще античные философы, изучая вопросы музыкальной гармонии. Поэтому простейшие колебания, происходящие по закону круговых функций (синуса или косинуса), называются гармоническими.

Читайте так же:
Станки для резки металла плазмой

Формула гармонических колебаний:

Рис. 1. График гармонических колебаний.

Как можно видеть из графика колебаний (а также из изучения круговых функций в математическом анализе), функции эти регулярно повторяют свои значения. Более того, регулярно повторяется форма графика колебаний. Это свойство функции называется периодичностью. То есть, функция, обладающая периодичностью, имеет равные значения на промежутках, равных своему периоду.

Период обозначается латинской буквой $T$. Однако, физический и математический подход к измерению периода немного различен.

В математике в качестве аргумента круговой функции рассматривается угол поворота вектора, образующего ее, и этот угол удобно измерять в радианах (каждый радиан равен дуге, имеющей длину радиуса). В радианах измеряется и период круговой функции. Для простого синуса или косинуса $T = 2pi$.

Период синуса и косинуса

Рис. 2. Период синуса и косинуса.

В физике угол поворота менее важен, нередко такой угол даже невозможно указать (например, для колебаний пружинного маятника). Поэтому в физике период измеряется в единицах времени – секундах. Дополнительно это дает возможность ввести специальную характеристику, позволяющую определить «скорость» колебаний – частоту (обозначается греческой буквой $nu$ («ню»).

Если период показывает, за сколько времени совершается одно колебание, то частота показывает, сколько колебаний совершается за одну секунду:

Частота измеряется в колебаниях в секунду или Герцах (Гц). Один герц – это одно колебание в секунду.

Круговая частота

Как видим, физический и математический подход к описанию периода функций несколько отличаются, и возникает вопрос их связи.

Из приведенной выше формулы гармонических колебаний можно видеть, что она имеет период:

В эту формулу входит параметр $omega$, который обратно пропорционален периоду. При сравнении этой формулы с формулой частоты можно получить:

Или, после упрощений:

Таким образом, параметр $omega$ в $2pi$ раз больше частоты колебаний. Поскольку в одном круге $2pi$ радиан, то параметр $omega$ называется «круговой» или «циклической» частотой.

Физический смысл частоты – это количество колебаний, происходящих в системе за единицу времени, а физический смысл круговой частоты – это количество радиан, проходящих функцией, описывающей систему, за единицу времени.

Круговая (циклическая) частота

Рис. 3. Круговая (циклическая) частота.

Таким образом, удобный и наглядный параметр частоты может быть легко преобразован для вида, удобного в математических преобразованиях.

Что мы узнали?

Круговая (циклическая) частота – это важный параметр гармонического колебания, удобный в математической обработке функций. Круговая частота обозначает количество радиан, прошедших гармонической функцией за единицу времени. Она прямо пропорциональна обычной частоте.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector