Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

III. Определение коэффициента жесткости пружины методом колебаний Графический метод

III. Определение коэффициента жесткости пружины методом колебаний Графический метод

По результатам проведенных измерений построить проходящий через начало координат график зависимости квадрата периода колебании от массы m, предварительно рассчитав , для каждого значения m. Выбрав одну из полученных в эксперименте точек, лежащую на усредненной прямой, рассчитать коэффициент жесткости пружины по формуле

Оценить погрешность полученного результата. В пред­положении, что ошибка в определении числа колебаний отсут­ствовала, эту погрешность можно рассчитать по формуле

.

Ошибка определения времени 10 колебаний определяется как

.

Систематическую погрешность определения времени , связанную с конечной скоростью реакции человека, можно принять равной 0,1 с (т. к. непосредственно приборной ошибкой в нашем случае можно пренебречь по сравнению с этой величиной).

Случайную ошибку следует рассчитать по методу Стьюдента:

.

Для числа колебаний n=4 и доверительной вероятности P=0,95 =3,2Окончательный результат записать в таблицу2. Сравнить полученное значение коэффициента жесткости пружины с результатом, полученным ранее.

Расчет коэффициента жесткости с использованием эвм

(задание для УИРС)

Из теории пружинного маятника следует (см. формулу 5), что график зависимости представляет прямую, проходящую через начало координат. Для построения этой прямой наилучшим образом следует воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК). Специальная программа для ЭВМ позволит рассчитать и стандартное отклонение.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие деформации называются упругими? Сформулируйте закон Гука.

2. Какие колебания называются свободными?

3. Составьте дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине. Какой вид имеет решение этого уравнения?

4. Получите формулу для периода колебаний пружинного маятника.

5. Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости, полученных разными методами?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. Курс физики,М.: Высш. шк., 2000.

2.И. В. Савельев. Курс физики. М.: Наука 1998 Т. 2.

3.Методические указания к вводному занятию по физическому практи — куму. – М.: Изд. МИИТ, 1995.

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебании и приведенной длине.

Физическим маятником называется любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 4 точка О — обозначает горизонтальную ось вращения, точка В — центр тяжести физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр тяжести совпадают.

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение этого момента определяется соотношением

(1)

где mмасса физического маятника, dкратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, —угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

Читайте так же:
Формула циклической частоты свободных колебаний пружинного маятника

Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид

. (1а)

При малых углах можно принять , если выражено в радианах, и записать формулу (1а) следующим образом

. (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где J — момент инерции тела относительно оси вращения, а—угловое ускорение, причем .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

. (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

, (5)

где , а и —постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины и называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а —начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина собственной циклической частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина

T называется собственным периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

.

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

. (7)

Это и есть формула приведенной длины физического маятника.

Решение: Найти массу груза, который на пружине жесткостью 40 Н/м делает 20 колебаний за 8 с

1. Какова длина математического маятника, если период его колебания равен 1 с?

2. Найти массу груза, который на пружине жесткостью 40 Н/м
делает 20 колебаний за 8 с.

3. Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг совершает 45 колебаний в минуту. Найти коэффициент жесткости пружины.

4. Ускорение свободного падения на поверхности Луны равно 1,6 м/с 2 . Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период колебания
на Луне был равен 4,9 с?

5. Математический маятник длиной 99,5 см за одну минуту совершал 30 полных колебаний. Определить период колебания маятника и ускорение свободного падения
в том месте, где находится маятник.

6. Груз массой 9,86 кг колеблется на пружине, имея период колебаний 2 с
Чему равна жесткость пружины? Какова частота колебаний груза?

7. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,5 с.
На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?

8. Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Определите, с каким периодом начнет совершать колебания этот груз на пружине, если его вывести из положения равновесия.

1. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10, а другой 30 колебаний?

2. Определите ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.

3. В неподвижном лифте висит маятник, период колебаний которого Т 1 =1 с. С каким ускорением движется лифт, если период колебаний этого маятника стал равным Т 2 =1,1 с? В каком направлении движется лифт?

Читайте так же:
Мини пивзаводы для малого бизнеса цена

4. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать 3/4 длины жгута и подвесить на его оставшуюся часть тот же груз?

5. При увеличении длины математического маятника на 10 см его период колебаний увеличился на 0,1 с. Каким был начальный период колебаний?

6. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте Земли за некоторое время один — 30 колебаний, другой — 36 колебаний. Найдите длины маятников.

7. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса? (плотность меди равна 8900 кг/м3, алюминия — 2700 кг/м 3 )

8. Груз массой 4 кг совершает горизонтальные колебания под действием пружины жесткостью 75 Н/м. При каком смещении груза от положения равновесия модуль его скорости равен 5 м/с, если в положении равновесия модуль его скорости равен 10 м/с?

МАЯТНИКА И ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ.

1. К пружине весов подвешена чашка с гирями. Период вертикальных колебаний чашки 1 с. После того, как на чашку положили добавочный груз, период стал 1,2 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза, если первоначальное удлинение было 4 см.

2. К пружине подвешено тело массой 2 кг. Если к нему присоединить тело массой 300 г, то пружина растянется еще на 2 см. Каков будет период колебаний, если трехсотграммовый довесок снять и предоставить телу массой 2 кг колебаться?

3. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Марс, если масса Марса в 9,3 раза меньше

массы Земли, а радиус Марса в 1,9 раза меньше радиуса Земли?

4. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость. В каком положении она достигается?

5. С какой частотой будет колебаться палка массой 2 кг и площадью поперечного сечения 5 см2, плавающая на поверхности воды в вертикальном положении?

6. В воде плавает брусок из дуба размерами 10х20х20 см. Брусок слегка погрузили в воду и отпустили. Найти частоту колебаний бруска.

7. С каким ускорением α и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный маятник за 2 мин 30 с совершил 100 колебаний?

8. При какой скорости поезда маятник длиной 11 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если расстояние между стыками рельсов 12,5 м?

Формула коэффициента жесткости пружины через период

Задача 4.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=1 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=400 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

Читайте так же:
Чем зубчатое колесо отличается от шестерни

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(1 с)^<2>cdot 400 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=10,142399 кг ; approx 10 кг )

Задача 5.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,3 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=350 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до десятых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(0,3 с)^<2>cdot 350 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,79871 кг ; approx 0,8 кг )

Задача 6.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=150 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до сотых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(0,07 с)^<2>cdot 150 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,0186366 кг ; approx 0,02 кг )

Задача 7.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а масса груза ( m=0,0186 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Задача 8.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,32 с ) , а масса груза ( m=0,8 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Задача 9.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,6 с ) , а масса груза ( m=4 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Найти частоту колебаний ( nu ) пружинного маятника, если жесткость его пружины (k=400 Н/м ), а масса его груза (m=0,25 кг ) ,
(pi=3,14 )
Ответ округлить до сотых
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Ответ: ( nu= 6,37 Гц )

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Ответ: ( nu= 6,37 Гц )

Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Массу груза пружинного маятника увеличили в 25 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом (T_1=0,4 с. ;; ) Масса его груза (m_1=1 кг ). В какой-то момент к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз массой (m_2=3 кг. ; ) Вычислить период колебаний пружинного маятника после присоединения дополнительного груза.
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Читайте так же:
Что должен знать инженер кипиа

Определение жесткости пружины

Жесткость — способность твёрдого тела, конструкции или её элементов сопротивляться деформации от приложенного усилия вдоль выбранного направления в заданной системе координат.

Сила жесткости — сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть его в исходное состояние.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

От чего зависит жесткость

Жесткость пружины зависит от нескольких параметров:

  • геометрии пружины;
  • типа материала;
  • коэффициента;
  • срока эксплуатации.

Геометрия пружины

На жесткость витой пружины влияет:

  • количество витков;
  • их диаметр;
  • диаметр проволоки.

Диаметр намотки измеряется от оси пружины. Так как длина проволоки в пружине значительно больше длины упругого стержня, сопротивляемость внешней деформации многократно возрастает.

Волновые пружины состоят из металлических лент, навитых ребром по окружности заданного диаметра.

Их основные геометрические параметры:

  • количество витков;
  • количество волн на виток;
  • сечение ленты.

Тип материала

У каждого материала есть условный предел упругости, характеризующий его способность восстанавливаться после деформации. Если этот предел превышается, в структуре материала возникают необратимые изменения.

Предел упругости — механическая характеристика материала, показывающая максимальное напряжение, при котором имеют место только упругие, обратимые деформации.

Предел упругости измеряют в паскалях и определяют по формуле:

где F — действие внешней силы на исследуемый образец, приводящее к повреждениям, а S — его площадь.

Кроме предела упругости, существуют такие характеристики упругости материалов, как модули упругости (модуль Юнга) и сдвига, коэффициент жесткости и другие. Все они взаимосвязаны, поэтому, выяснив значение одной из величин с помощью справочной таблицы, можно вычислить другие.

Коэффициент

Согласно закону Гука, при малой деформации абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации.

Эта линейная зависимость описывается формулой:

где k — коэффициент жесткости, а х — величина, на которую сжалась или растянулась пружина.

Деформация считается малой в том случае, когда изменение размеров тела значительно меньше его первоначальных размеров.

Срок эксплуатации

Нахождение под напряжением приводит к постепенной необратимой деформации, называемой ослаблением пружины.

Жесткость пружины влияет на срок ее эксплуатации, как и сила воздействия. Конструкторы пружин, предварительно рассчитав эти параметры, проводят тесты на прототипах, прежде чем начать массовое производство. В специальных установках для испытания на усталость материала их сжимают и отпускают определенное количество циклов, отдельно проверяя поведение пружин при максимальной и минимальной нагрузке.

В чем измеряется жесткость

Жесткость пружины в системе СИ измеряется в ньютонах на метр, Н/м. Также встречается единица измерения ньютон на миллиметр, Н/мм. Численно жесткость равна величине силы, изменяющей размер пружины на метр длины.

Как обозначается

Коэффициент жесткости пружины обозначают буквой k.

Коэффициент жесткости пружины

Коэффициент жесткости — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу жесткости.

Применяется в механике твердого тела в разделе упругости.

Формула расчета через массу и длину

Используя закон Гука, коэффициент жесткости можно вычислить по формуле:

Читайте так же:
Пайка алюминия в домашних условиях газовой горелкой

Чтобы выяснить силу тяжести, воздействующую на пружину, нужно воспользоваться формулой:

где m — масса подвешенного на пружине тела, а g — величина свободного ускорения, равная 9,8.

Чтобы найти х, нужно дважды измерить длину пружины и вычислить разницу между этими двумя значениями.

При соединении нескольких пружин общая жесткость системы меняется. Коэффициенты каждой из пружин суммируются при параллельном соединении. При последовательном соединении общая жесткость вычисляется по формуле:

Как можно измерить жесткость

Измерительные приборы

Приборы для испытания пружин на сжатие-растяжение контролируют приложенное усилие с помощью тензометрического датчика, а также изменение их длины, выводя показатели на дисплей. Без специального прибора измерить осевую жесткость можно, используя динамометр и линейку.

Существуют приборы и для измерения поперечной жесткости пружин. Для этого нужно измерить смещение нескольких точек пружины, определив расстояние и угол между ними.

Практическая задача

Самый простой способ измерить жесткость пружины — провести стандартный школьный опыт со штативом и подвешенными на пружине грузиками.

Для измерения осевой жесткости спиральной пружины используют:

  • штатив, на котором закрепляют пружину;
  • крючок, который крепят на свободный ее конец;
  • грузики с известной массой, которые подвешивают на свободный конец пружины;
  • линейку, чтобы измерить длину пружины с грузом и без груза.

Проведя несколько измерений с грузиками разной массы и вычислив силу тяжести, воздействовавшую на пружину в каждом из них, можно построить график зависимости длины пружины от приложенного усилия и узнать среднее значение коэффициента жесткости.

Альтернативные способы определения жесткости

Жесткость пружины можно определить и через период ее колебания, воспользовавшись формулой:

Или через частоту колебаний по формуле:

Проводя опыт с пружиной, закрепленной на штативе, и грузиками с известной массой, можно не измерять длину пружины, а привести ее в колебательное движение и сосчитать количество колебаний в период времени.

Формула расчета через длину, дающая более точные результаты и применимая к пружинам со значительной деформацией, различается для пружин разных геометрических параметров. Например, жесткость витой цилиндрической пружины, упруго деформируемой вдоль оси, вычисляется по формуле:

где (d_D) — диаметр проволоки, (d_F) — диаметр намотки, (G) — модуль сдвига, который зависит от материала, а (n) — число витков.

Задача

Рассчитайте коэффициент жесткости пружины, если известно, что ее диаметр 20 мм, диаметр проволоки 1 мм, число витков — 25. Модуль сдвига равен (8times;10^<10>😉 Па.

Решение

Переведем числовые значения в систему СИ и подставим в формулу:

Жесткость при деформации кручения существенно отличается от жесткости сжатия-растяжения. Предел прочности при кручении у любого материала будет меньше, чем предел прочности при сжатии-растяжении или изгибе. Торсионная жесткость, также называемая крутильной, в системе СИ измеряется в ньютон-метрах на радиан, сокращенно Н-м/рад. Ее можно определить по формуле:

где (М) — крутящий момент, приложенный к телу, а (alpha) — угол закручивания тела по оси приложения крутящего момента.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector