Montagpena.ru

Строительство и Монтаж
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Что такое правильный шестиугольник

Что такое правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Что такое правильный шестиугольник

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA , OB — радиусы правильного шестиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6число сторон и вершин правильного шестиугольника,шт
αцентральный угол правильного шестиугольника,радианы, °
βполовина внутреннего угла правильного шестиугольника,радианы, °
γвнутренний угол правильного шестиугольника,радианы, °
aсторона правильного шестиугольника,м
Rрадиусы правильного шестиугольника,м
pполупериметр правильного шестиугольника,м
Lпериметр правильного шестиугольника,м
hапофемы правильного шестиугольника,м

Основные формулы для правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

Полупериметр правильного шестиугольника

Центральный угол правильного шестиугольника в радианах

Центральный угол правильного шестиугольника в градусах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах

Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах

Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах

Площадь правильного шестиугольника

Отсюда получим апофему правильного шестиугольника

Шестиугольник
Правильный шестиугольник
ТипПравильный многоугольник
Рёбра6
Символ Шлефли<6>, t
Диаграмма Коксетера — ДынкинаЧто такое правильный шестиугольник Что такое правильный шестиугольник Что такое правильный шестиугольник
Что такое правильный шестиугольник Что такое правильный шестиугольникЧто такое правильный шестиугольник
Вид симметрииДиэдрическая группа (D6)
Площадь3 3 2 R 2 <displaystyle <frac <3<sqrt <3>>><2>>R^<2>>
= 3 3 2 t 2 <displaystyle =<frac <3<sqrt <3>>><2>>t^<2>>
= 2 3 r 2 <displaystyle =2<sqrt <3>>r^<2>>
Внутренний угол (градусы)120°
Свойствавыпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный [en] , изотоксальный

Содержание

  • Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности ( R = t <displaystyle R=t>), поскольку 2 sin ⁡ π 6 = 1 <displaystyle 2sin <frac <pi ><6>>=1> .
  • Все углы равны 120°.
  • Радиус вписанной окружности равен: r = 3 2 R = 3 2 t <displaystyle r=<frac <sqrt <3>><2>>R=<frac <sqrt <3>><2>>t>
  • Периметр правильного шестиугольника равен: P = 6 R = 4 3 r <displaystyle P=6R=4<sqrt <3>>r>
  • Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам: S = 3 3 2 R 2 = 3 3 2 t 2 <displaystyle S=<frac <3<sqrt <3>>><2>>R^<2>=<frac <3<sqrt <3>>><2>>t^<2>> S = 2 3 r 2 <displaystyle S=2<sqrt <3>>r^<2>>
  • Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
  • Правильный шестиугольник со стороной 1 3 <displaystyle <frac <1><sqrt <3>>>> является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной 1 3 <displaystyle <frac <1><sqrt <3>>>> (лемма Пала) [1] .

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Правильным шестиугольником называется выпуклый многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и шестью углами.

Что такое правильный шестиугольник

Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ):
(alpha = 120^circ)

Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
(m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
ormalsize)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
ormalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
(R = a)

Периметр правильного шестиугольника
(P = 6a)

Площадь правильного шестиугольника
(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>
ormalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Правильный шестиугольник


Правильный шестиугольник (гексагон) — правильный многоугольник с шестью сторонами.

Содержание

Свойства

  • Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности (<math>R = t</math>), поскольку <math>2 sin frac<6>= 1</math> (неочевидное следствие!).
  • Все углы равны 120°.
  • Радиус вписанной окружности равен: <math>r = frac<2>R = frac<2>t</math>
  • Периметр правильного шестиугольника равен: <math>P = 6 R = 4 sqrt 3 r</math>
  • Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам: <math>S = frac<3 sqrt 3><2>R^2 = frac<3 sqrt 3><2>t^2</math> <math>S = 2 sqrt 3 r^2</math>
  • Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
  • Правильный шестиугольник со стороной <math>frac<1></math> является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной <math>frac<1></math> (лемма Пала) [1] .

Построение

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

  • Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
  • Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
  • Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
  • Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
  • Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
  • Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками. Под названием звезда Давида она является символом иудаизма.

Напишите отзыв о статье «Правильный шестиугольник»

Примечания

  1. А. М. Райгородский. [www.math.ru/lib/files/pdf/mp-seria/033_rajgor.pdf Проблема Борсука]. — М .: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.

См. также

  • Шестиугольник
  • Упаковка кругов на плоскости

Ссылки

  • [community.livejournal.com/new_hex_world Шестиугольный мир (ЖЖ-сообщество)]
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Отрывок, характеризующий Правильный шестиугольник

– Да, mais ce n’est pas comme vous l’entendez, [но это не так, как вы это понимаете,] – продолжал князь Андрей. – Я ни малейшего добра не желал и не желаю этому мерзавцу протоколисту, который украл какие то сапоги у ополченцев; я даже очень был бы доволен видеть его повешенным, но мне жалко отца, то есть опять себя же.
Князь Андрей всё более и более оживлялся. Глаза его лихорадочно блестели в то время, как он старался доказать Пьеру, что никогда в его поступке не было желания добра ближнему.
– Ну, вот ты хочешь освободить крестьян, – продолжал он. – Это очень хорошо; но не для тебя (ты, я думаю, никого не засекал и не посылал в Сибирь), и еще меньше для крестьян. Ежели их бьют, секут, посылают в Сибирь, то я думаю, что им от этого нисколько не хуже. В Сибири ведет он ту же свою скотскую жизнь, а рубцы на теле заживут, и он так же счастлив, как и был прежде. А нужно это для тех людей, которые гибнут нравственно, наживают себе раскаяние, подавляют это раскаяние и грубеют от того, что у них есть возможность казнить право и неправо. Вот кого мне жалко, и для кого бы я желал освободить крестьян. Ты, может быть, не видал, а я видел, как хорошие люди, воспитанные в этих преданиях неограниченной власти, с годами, когда они делаются раздражительнее, делаются жестоки, грубы, знают это, не могут удержаться и всё делаются несчастнее и несчастнее. – Князь Андрей говорил это с таким увлечением, что Пьер невольно подумал о том, что мысли эти наведены были Андрею его отцом. Он ничего не отвечал ему.
– Так вот кого мне жалко – человеческого достоинства, спокойствия совести, чистоты, а не их спин и лбов, которые, сколько ни секи, сколько ни брей, всё останутся такими же спинами и лбами.
– Нет, нет и тысячу раз нет, я никогда не соглашусь с вами, – сказал Пьер.

Вечером князь Андрей и Пьер сели в коляску и поехали в Лысые Горы. Князь Андрей, поглядывая на Пьера, прерывал изредка молчание речами, доказывавшими, что он находился в хорошем расположении духа.
Он говорил ему, указывая на поля, о своих хозяйственных усовершенствованиях.
Пьер мрачно молчал, отвечая односложно, и казался погруженным в свои мысли.
Пьер думал о том, что князь Андрей несчастлив, что он заблуждается, что он не знает истинного света и что Пьер должен притти на помощь ему, просветить и поднять его. Но как только Пьер придумывал, как и что он станет говорить, он предчувствовал, что князь Андрей одним словом, одним аргументом уронит всё в его ученьи, и он боялся начать, боялся выставить на возможность осмеяния свою любимую святыню.
– Нет, отчего же вы думаете, – вдруг начал Пьер, опуская голову и принимая вид бодающегося быка, отчего вы так думаете? Вы не должны так думать.
– Про что я думаю? – спросил князь Андрей с удивлением.
– Про жизнь, про назначение человека. Это не может быть. Я так же думал, и меня спасло, вы знаете что? масонство. Нет, вы не улыбайтесь. Масонство – это не религиозная, не обрядная секта, как и я думал, а масонство есть лучшее, единственное выражение лучших, вечных сторон человечества. – И он начал излагать князю Андрею масонство, как он понимал его.
Он говорил, что масонство есть учение христианства, освободившегося от государственных и религиозных оков; учение равенства, братства и любви.

Построить правильный 6 угольник по его апофеме

Построение шестигранника может производиться несколькими способами. Удобнее всего использовать стандартный набор чертежных инструментов: циркуль, линейку. Однако, в отсутствие циркуля, фигура этого типа может быть начерчена с помощью рейсшины, угольника заводского изготовления с углами 90/60/30°.

Шестигранники применяются для откручивания и закручивания болтов при ремонте и сборке мебели.

В обоих случаях особенностью построения является элементарное знание основ геометрии. В правильном шестиугольнике длина его стороны всегда равна радиусу окружности, описанной вокруг него, противоположные стороны параллельны, грани сопрягаются под углом 60°.

Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой

Чтобы построить шестигранник при наличии циркуля, достаточно вычертить окружность, найти на ее дуге 6 точек, соединив их отрезками. Для этого достаточно настроить циркуль один раз, отложив на нем значение стороны многогранника. Линейка потребуется для строительства вспомогательных, основных линий.

Метод выглядит следующим образом:

Первый способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

  • циркулем вычерчивается окружность — радиус является размером стороны;
  • по линейке проводится радиус — точки пересечения этого отрезка будут углами многоугольника;
  • находятся два угла многоугольника — циркуль переставляется в одну из точек пересечения отрезка (проведенный на предыдущем этапе диаметр), на дуге делаются отметки;
  • находятся оставшиеся два угла — циркуль перемещается в противоположную точку пересечения отрезка с дугой окружности, создаются отметки пересечения на второй стороне окружности.

Построение правильного шестигранника завершается соединением получившихся углов по линейке. Это самый точный способ, требующий минимального количества чертежного инструмента. При значительном размере сторон (например, крой листового металла, деревянных заготовок) можно использовать шнур с карандашом. Один край шнура крепится к карандашу/маркеру, второй неподвижно фиксируется в центре окружности, затем в точках пересечения диаметра с дугой окружности.

Построение занимает минимальное количество времени, точность целиком зависит от заточки карандаша, наличия фиксатора на циркуле.

Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля

Построение правильного шестигранника без циркуля требует обязательного наличия рейсшины — специального инструмента в виде линейки, внутри корпуса которой расположен массивный вал с резиновыми элементами, препятствующими проскальзыванию. Он создан для быстрого изготовления параллельных прямых, обеспечивая высокую точность построений. Качество вычерчивания в данном методе полностью зависит от точности угла 60° в угольнике заводского изготовления, градуирования шкалы линейки.

Способ построения выглядит следующим образом:

Второй способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

  • к одной стороне отрезка прикладывается угольник — короткая сторона совмещена с линией, угол 60° примыкает к концу отрезка изнутри, по гипотенузе угольника проводится линия произвольного размера, который корректируется впоследствии по шкале линейки;
  • на листе/заготовке вычерчивается линия — длина ее равна двум размерам стороны многоугольника, края автоматически становятся центрами многогранника;
  • операция повторяется при развороте угольника — угол 60° перемещается к противоположной стороне отрезка, центром вращения является длинный катет угольника;
  • разворот угольника — теперь центром вращения становится короткий катет угольника, вычерчиваются еще две грани;
  • уточнение размеров сторон — на четырех получившихся сторонах многоугольника по линейке откладывается их точный размер;
  • строительство двух оставшихся сторон — они расположены параллельно линии, с которой было начато черчение, проводятся по линейке, затем уточняется их размер;
  • контроль параллельности — шкала рейсшины совмещается с линией, от которой началось построение фигуры, затем инструмент перемещается вверх/вниз для удостоверения параллельности двух противоположных граней между собой, с этим отрезком

Шестигранник в этом случае вычерчивается дольше, чем в первом способе. Однако так можно построить необходимую фигуру, в отсутствие циркуля, угольником. Технология основана на параллельности противоположных сторон правильного шестиугольника, одинаковых внутренних углах 60°.

Промышленность выпускает угольники как с острыми углами, удобными для данного метода, так и со скругленными.

Третий способ вычерчивания шестиугольника циркулем: a — диаметр, b — сторона шестигранника.

В последнем случае удобнее несколько изменить технологию:

  • после вычерчивания центрального отрезка по нему выравнивается рейсшина;
  • инструмент откатывается вниз на произвольную величину;
  • короткая гипотенуза угольника совмещается с линейкой рейсшины, а не с центральным отрезком;
  • скругленный край инструмента не участвует в построении, линия проводится по цельной части гипотенузы.

Операция повторяется с противоположной стороны отрезка, после чего рейсшина разворачивается на 180°, опять совмещается с центральной линией, откатывается вверх для построения двух других сторон многогранника.

Это стандартные способы вычерчивания равностороннего многоугольника с шестью углами, гранями. Они удобны для кроя заготовок любых размеров из разных материалов, в стандартном черчении на ватмане. Обе методики имеют исключительно прикладное значение, так как в профессиональных графических редакторах (AutoCAD, Компас-3D) подобные фигуры создаются автоматически заданием нужных параметров.

Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник – это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник – это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 – 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

  • все внутренние углы равны между собой
  • каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
  • все стороны равны между собой
  • сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
  • большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
  • меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.
  • vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
  • правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
  • диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
  • инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
  • nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
ormalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>
ormalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Построение правильных многоугольников

Для решения задачи воспользуемся тем, что сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. (смотри формулу для вычисления стороны правильного многоугольника), где — радиус окружности описанной около правильного многоугольника. Нам нужно построить правильный шестиугольник со стороной DC, поэтому с помощью циркуля измеряем отрезок DC и строим окружность радиуса DC, и отмечаем на ней произвольную точку А1, центр окружности обозначаем буквой О.

Затем не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6, так, чтобы выполнялись равенства

А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5 = А5А6 = DC (т.е. сначала строим окружность радиуса DC с центром в точке А1 (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным), данная окружность пересечет окружность с центром О в точке А2, далее аналогично строим окружность радиуса DC с центром в точке А2, она пересечет окружность с центром О в точке А3 и т.д.).

Теперь соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.

Задача 2

Дан правильный />-угольник. Построить правильный 2 />-угольник.

Дано: правильный -угольник А1А2А3. Аn.

Построить: правильный 2-угольник.

Решение:

Пусть, например, нам дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6, значит, построить нужно двенадцатиугольник.

Сначала опишем около данного шестиугольника А1А2А3А4А5А6 окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2. Чтобы построить биссектрису угла А1, строим окружность произвольного радиуса с центром в точке А1 (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), данная окружность пересечет стороны А1А2 и А1А6 угла А1 в точках Е и К. Затем строим две окружности с центрами в точках Е и К радиуса ЕК (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), данные окружности пересекутся в точке Р. Далее проводим луч А1Р, который и будет биссектрисой угла А1.

Аналогично строим биссектрису угла А2.

Точку пересечения биссектрис углов А1 и А2 обозначаем буквой О и строим окружность радиуса ОА1 с центром О (окружность описанная около А1А2А3А4А5А6).

Далее нужно каждую из дуг А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 разделить пополам. Чтобы разделить дугу А1А2 пополам, построим серединный перпендикуляр к отрезку А1А2. Для этого строим две окружности с центрами в точках А1 и А2 радиуса А1А2 (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Данные окружности пересекутся в двух точках, одну обозначим буквой М, а другая совпадет с точкой О, т.к. у шестиугольника сторона равна радиусу (с другими многоугольниками совпадения с точкой О не будет) . Затем проводим прямую МО, данная прямая пересечет дугу А1А2 в точке В1, которая и разделит дугу А1А2 пополам. Далее точку В1 соединяем с концами А1 и А2 дуги А1А2.

Аналогично находим точки В2, В3. Точки В4, В5, В6 в данном случае строить необязательно, они получаются автоматически при построении точек В1, В2, В3, т.к. шестиугольник симметричная фигура.

Мы выполняли построения на примере правильного шестиугольника, если мы имеем произвольный правильный -угольник, то все построения выполняются аналогично.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный треугольник и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный шестиугольник, затем правильный двенадцатиугольник и вообще 2 k -угольник, где — любое целое число, больше двух.

Замечание

Не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

голоса
Рейтинг статьи
Читайте так же:
Применение мотора от стиральной машины
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector